중산고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

중산고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 내용은 다항식의 연산과 인수분해, 항등식과 나머지, 복소수, 이차방정식, 이차함수와 근의 분리까지 이어집니다. 단원별 공식 암기에 더해 같은 개념이 다른 표현으로 제시됐을 때 알아보는 연습이 필요합니다.

초반에는 전개, 곱셈 공식 변형, 수치대입법처럼 출발점이 비교적 분명한 문제가 나옵니다. 반면 후반에는 다항식의 형태를 바꾸거나 조건을 연립한 뒤 후보를 다시 검증해야 합니다. 기본 계산에서 확보한 시간을 조건 해석과 검토에 사용하는 운영이 어울리는 시험입니다.

서술·단답형은 어려운 문제만 이어지는 구성이 아닙니다. 16·17번은 같은 다항식 조건을 활용하고, 18·19번은 이차함수와 직선의 교점 상황을 공유합니다. 공통으로 쓰는 관계식을 알아보기 쉽게 정리해 두면 이어지는 문항에서 풀이를 다시 시작하는 부담을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 초반 기본기와 후반 조건 연결

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서도 6번은 접한다는 말을 중근 조건으로 바꾸고, 8번은 음의 제곱근의 계산 법칙을 구별해야 합니다. 계산량이 적다는 이유로 조건을 읽는 과정을 생략하면 실수가 생길 수 있습니다.

보통 구간은 개념 사이의 연결을 점검하는 역할을 합니다. 7번은 함수의 최솟값을 매개변수에 대한 방정식으로, 10번은 두 근의 위치를 그래프 조건으로, 13번은 근에서의 함수값 조건을 인수 관계로 바꿉니다. 어떤 식으로 옮길지 정하면 계산 방향이 분명해집니다.

어려움 구간에서는 계산 전에 구조를 정리하는 시간이 필요합니다. 11번의 고차식 나머지와 15번의 고차식 대입은 차수를 낮추는 관계가 중요하고, 14번은 경우를 나눈 뒤 구간과 정수 조건까지 확인해야 합니다. 서술·단답형은 중간 판단의 근거를 짧게 남기며 진행하세요.

출제 단원 — 항등식과 이차함수가 중심

항등식은 수치대입으로 상수를 찾는 3번에서 출발해, 나머지를 정리하는 11번과 계수 조건을 연결하는 16·17번, 다항식의 형태를 추론하는 21번으로 이어집니다. 같은 단원에서도 대입, 계수 비교, 인수정리 가운데 무엇을 먼저 쓸지 선택하는 연습이 중요합니다.

이차함수는 접선과 판별식, 완전제곱식, 제한된 구간에서의 최대·최소, 교점 사이의 거리까지 다룹니다. 출제 수가 같더라도 항등식과 어려움 문항의 분포는 다릅니다. 이차함수에서는 기본 유형을 정확히 처리한 뒤 14번의 복합 조건을 별도로 연습하는 편이 효율적입니다.

다항식과 이차방정식도 서로 연결됩니다. 15번은 방정식의 근이 만족하는 관계를 고차식 정리에 이용하고, 20번은 도형의 길이 조건을 곱셈 공식으로 바꿉니다. 복소수와 여러가지부등식의 문항 수는 적지만, 부호와 경계 조건을 확인하는 기본기를 점검하기에 적합합니다.

문항별 정리

아래 난이도 표시는 자동 분류 기준입니다. 문항의 핵심 개념과 풀이 방향, 점검할 조건을 중심으로 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 풀이 구조를 세우는 부담이 큰 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 조건 하나로 만든 후보를 다른 조건으로 좁히는 과정입니다. 조건마다 사용한 위치를 표시하고, 아직 쓰지 않은 조건이 남았는지 확인하면 풀이 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반의 전개와 공식 활용은 정확하게 처리하되, 객관식 후반에서 식의 형태가 보이지 않으면 표시하고 이동하세요. 서술·단답형의 18번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 앞의 어려운 문항을 모두 해결할 때까지 미뤄 둘 필요가 없습니다. 연습할 때는 풀이 시간을 기록해 기본 계산과 조건 해석 중 어디서 지연되는지 구별하세요.

16·17번과 18·19번에서는 공통 조건을 다시 옮겨 적느라 시간을 쓰지 않도록 중간식을 정돈해 두세요. 다만 공통 설정이 있다고 해서 앞 문항의 결론만 쓰고 넘어가지는 마세요. 각 문항에서 필요한 계수 관계, 교점 존재 조건, 거리 관계를 짧게라도 확인할 수 있게 남기는 편이 좋습니다.

마지막 검토는 부호와 경계 조건에 집중하세요. 4번의 양수 조건, 10번의 중근 허용 여부, 12번의 허근 조건, 14번의 구간과 정수 조건을 확인하세요. 18번의 서로 다른 교점 조건과 19번의 거리 계산도 함께 점검하고, 21번은 인수로 나누는 과정의 제외값을 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식 기본 계산을 정리하세요. 전개와 공식 변형, 인수정리의 적용 순서를 설명하며 풀고 부호 실수를 별도로 기록하세요(1·2·5번 대비).
2. 복소수의 실수 조건과 음의 제곱근을 복습하세요. 허수부분을 분리하는 과정과 근호 계산의 적용 조건을 함께 연습하세요(4·8번 대비).
3. 판별식을 그래프의 말로 설명하세요. 접함, 서로 다른 교점, 두 근의 위치를 각각 어떤 조건으로 옮기는지 비교하세요(6·9·10·18번 대비).
4. 근과 계수의 관계를 식 변형에 활용하세요. 근을 직접 구하는 풀이와 합·곱만 쓰는 풀이를 비교하고 허근 조건을 재검토하세요(7·12·13·19번 대비).
5. 나머지와 나누어떨어짐을 항등식으로 쓰세요. 수치대입, 차수 낮추기, 계수 비교 중 출발점을 고르는 연습을 하세요(3·11·16·17번 대비).
6. 복합 조건을 표로 정리하세요. 함수 후보와 구간 조건을 나누고, 도형 조건은 길이의 합과 제곱합으로 번역하세요(14·20번 대비).
7. 고차식의 구조를 먼저 찾는 서술 연습을 하세요. 소거되는 항과 인수 관계를 찾은 이유를 적고, 나눗셈의 조건과 다항식 형태의 근거를 점검하세요(15·21번 대비).