중산고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

중산고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 제공된 자료의 출제 단원은 여러가지부등식, 원의방정식, 여러가지방정식, 평면좌표, 이차함수, 직선의방정식, 항등식입니다. 부등식 풀이와 좌표도형의 거리 관계가 시험 전반을 이룹니다.

단원 이름만으로 풀이 방법을 제한하기 어렵습니다. 5번은 원의 넓이를 이차함수의 최솟값으로 바꾸며, 10번은 매개변수와 관계없이 지나는 점을 항등식으로 찾습니다. 도형 조건을 대수식으로 옮긴 뒤 계산하는 연결 능력이 중요합니다.

서술·단답형 번호는 1·3·4·5·7·8·10·12·17·19번으로 자료에 분류되어 있습니다. 해설에 선택지 표현이 남아 있는 문항도 있으므로 형식 안내는 이 분류를 따릅니다. 연습할 때는 번호 순서로 형식을 짐작하지 말고, 각 문제에서 요구하는 표현을 확인하세요.

난이도 분포 — 후반의 조건 분류에 대비

자동 분류 기준 쉬움은 1·20번이고 보통은 2~14번입니다. 초반에는 내분·외분과 거리, 근과 계수의 관계, 원과 직선의 위치 관계를 다룹니다. 기본형에서도 외분의 부호나 접하는 경우의 제외처럼 조건을 잘못 읽으면 계산 결과가 달라집니다.

자동 분류 기준 어려움은 15~19번과 21·22번에 모여 있습니다. 절댓값의 구간 분류에서 정수해 개수, 중근과 소수 조건, 무게중심을 이용한 길이 관계로 이어집니다. 뒤쪽 문제를 풀 시간을 남기려면 보통 구간에서 불필요한 전개를 줄여야 합니다.

자동 분류 기준은 실제 풀이 시간의 순서와 일치한다고 볼 수 없습니다. 특히 20번은 원의 중심을 정한 뒤 공통접선 조건까지 다루므로 짧은 기본 문제로 예상하지 마세요. 분류표는 준비 순서를 정하는 참고로 쓰고, 자신의 풀이 시간을 따로 기록하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 부등식과 원의방정식 중심

여러가지부등식은 8·11·13·15·16·17·21번입니다. 절댓값을 푸는 기본형에서 시작해 정수해의 개수와 모든 실수에서 성립하는 조건으로 확장됩니다. 해를 구하는 문제와 해의 개수로 매개변수를 제한하는 문제를 구별해 연습하세요.

원의방정식은 4·12·14·20·22번입니다. 중심과 직선 사이의 거리, 거리비로 정해지는 자취, 접선의 수직 관계, 공통현, 원 위의 점이 만드는 넓이를 다룹니다. 방정식을 끝까지 전개하기 전에 그림에서 고정되는 선분과 움직이는 점을 표시하면 출발점을 잡기 쉽습니다.

여러가지방정식의 3·7·9·18번은 알려진 근의 대입, 켤레근, 인수분해, 중근 조건을 다룹니다. 평면좌표의 19번은 중선과 무게중심을 연결합니다. 이차함수·직선의방정식·항등식은 각각 5·6·10번이지만, 여기서 쓰는 완전제곱과 계수 비교는 다른 단원에도 활용됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목명이 다른 자료의 공통 단원 확인

작년 자료의 과목명은 수학(상), 올해 자료의 과목명은 공통수학1로 서로 다릅니다. 따라서 같은 범위의 시험으로 단정하지 않고 공통으로 확인되는 단원과 자동 분류 기준의 구성을 비교합니다. 총 문항은 같지만 자료상 서술·단답형은 늘었고, 어려움은 줄어든 대신 보통이 늘었습니다.

공통 단원 가운데 원의방정식은 작년 7문항에서 올해 5문항으로 줄고 여러가지부등식은 4문항에서 7문항으로 늘었습니다. 직선의방정식은 4문항에서 1문항, 여러가지방정식은 3문항에서 4문항, 평면좌표는 2문항에서 3문항으로 바뀌었습니다. 원의 성질을 복습하면서 부등식의 조건 분류에 연습 비중을 더 둘 만합니다.

작년에는 자동 분류 기준 어려움이 10번과 12~22번에 분포했고, 올해는 15~19번과 21·22번에 모입니다. 올해의 후반 집중을 고려하되 이 변화가 다음 시험에도 반복된다고 예상하지는 마세요. 보통 유형을 안정적으로 처리하고 정수해 개수와 도형 조건을 설명하는 연습을 이어가는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전 경우를 나누는 기준을 정하고, 계산 후 원래 조건으로 돌아오는 과정이 중요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~14번에서 익숙한 구조를 먼저 확보하세요. 다만 번호만 보고 속도를 정하지 말고 시작식이 떠오르는지 확인하는 편이 좋습니다. 15번 이후 경우 분류가 길어지면 분류 기준까지 적고 표시한 뒤 다른 문항을 살펴보세요.

서술·단답형이 중간중간 배치되어 있으므로 근거를 마지막에 한꺼번에 보충하려 하지 마세요. 4번은 거리 비교와 접하는 경계의 제외, 8번은 구간별 해와 교집합, 17번은 정수의 포함 조건을 계산 옆에 남겨 두면 검토가 쉬워집니다. 제공 자료에 시험 시간과 배점은 없으므로 연습 기록을 바탕으로 자신의 배분을 조정하세요.

마지막 검토에서는 6번의 일치하는 직선 제외, 13번의 엄격한 대소 관계, 16·17번의 정수 끝점, 22번의 허용된 호를 점검하세요. 19번은 길이와 길이의 제곱을 섞지 않았는지, 20번은 접선 거리식의 절댓값에서 경우를 놓치지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 내분·외분, 두 점 사이의 거리, 점과 직선 사이의 거리를 복습하세요. 좌표를 대입하기 전 비의 대응과 직선의 일반형을 확인하세요(1·2·4번 대비).
2. 근과 계수의 관계와 인수분해를 묶어 연습하세요. 직접 근을 구해야 하는 상황과 합·곱만 필요한 상황을 구별하세요(3·7·9번 대비).
3. 절댓값의 구간 분류와 이차부등식의 교집합을 익히세요. 분류 구간과 계산으로 얻은 해를 별도로 적은 뒤 겹치세요(8·11·15번 대비).
4. 정수해 개수 문제는 정수들을 수직선에 표시하며 연습하세요. 움직이는 끝점이 정수를 통과하는 순간과 등호 포함을 확인하세요(16·17번 대비).
5. 원의 표준형, 접선의 수직 관계, 공통현을 복습하세요. 넓이 문제에서는 밑변을 고정하고 높이를 비교하는 접근도 연습하세요(5·12·14·20·22번 대비).
6. 중근의 발생 구조와 항상 성립하는 조건을 정리하세요. 중근·공통근을 나누고, 판별식을 쓰는 변수가 무엇인지 표시하세요(13·18·21번 대비).
7. 항등식과 도형의 보조선 활용을 보완하세요. 매개변수로 식을 정리하는 연습과 중점·무게중심을 연결하는 연습을 하세요(10·19번 대비).