중산고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

중산고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 여러가지방정식, 이차방정식, 여러가지부등식, 복소수, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 계산과 좌표기하를 함께 준비해야 하는 범위입니다.

초반에는 주어진 근으로 방정식을 정리하거나 생활 조건을 부등식으로 바꾸는 기본형이 나옵니다. 이후에는 원의 접선, 움직이는 점의 자취, 넓이를 나누는 직선처럼 그림의 의미를 식으로 옮기는 문제가 이어집니다. 공식을 알고 있어도 어떤 길이나 거리를 식에 넣어야 하는지 판단하는 단계가 필요합니다.

후반에서는 후보를 구하는 계산과 후보를 인정하는 조건을 구별해야 합니다. 원의 방정식을 얻은 뒤 실제 자취의 범위를 확인하거나, 방정식별 실근 수를 구한 뒤 공통근을 검사하는 과정이 대표적입니다. 풀이 연습에서도 계산 결과 옆에 그 결과가 유효한 이유를 짧게 적어 보세요.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 후반 조건 결합으로

쉬움은 1·2·3·5·6·7·9번이고 보통은 4·8·11번입니다. 초반부터 난도가 계속 높아지는 배열은 아닙니다. 4번의 삼각형 조건이나 8번의 거리비 자취에서 풀이가 길어지더라도 뒤의 기본형을 확인할 필요가 있습니다.

자동 분류 기준 어려움인 10번은 복소수 거듭제곱의 반복 구조를 찾는 문제이고, 12번 이후에는 어려움 문항이 연속됩니다. 도형 문항만 어려운 것은 아니며, 계수의 부호를 추론하는 부등식과 켤레근을 이용하는 방정식도 후반 부담에 포함됩니다.

18~22번의 서술·단답형에서는 접선의 대칭성, 자취의 영역 제한, 실근의 중복, 중심의 위치, 무게중심의 조건을 다룹니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 다를 수 있습니다. 다만 후반에 조건 확인이 반복되는 구성이라는 점은 시간 배분에 반영할 만합니다.

출제 단원 — 원의방정식과 거리 해석의 연결

원의방정식은 8·9·13·14·16·18·19번입니다. 거리비로 원의 자취를 만드는 기본형부터 접하는 조건, 공통으로 지나는 점, 현의 길이 관계까지 폭이 넓습니다. 중심과 반지름을 찾는 연습에 이어 중심에서 직선까지의 거리가 어떤 역할을 하는지 설명할 수 있어야 합니다.

여러가지부등식은 생활 조건, 삼각형의 성립과 둔각 조건, 절댓값의 구간 분류, 해집합으로부터 계수를 추론하는 문제로 구성됩니다. 직선의방정식은 교점과 넓이, 수직 관계와 거리에서 출발해 넓이 분할 및 원의 중심 위치로 확장됩니다. 두 단원 모두 식을 세우기 전에 조건의 교집합을 정리하는 습관이 유용합니다.

여러가지방정식의 15·20번은 켤레근과 공통근을 다루며, 복소수의 10번은 거듭제곱의 주기를 이용합니다. 평면좌표의 22번은 무게중심에 원의 조건까지 결합됩니다. 단원 표에서 문항 수가 적더라도 다른 개념과 연결되는 유형을 함께 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리 과정에 근거해 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 식을 세운 뒤에도 배치, 영역, 중복 여부를 확인해야 한다는 점입니다. 풀이 마지막 줄에 원래 조건으로 되돌아가는 검토를 남겨 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본형을 안정적으로 처리하고, 10번에서 주기가 보이지 않으면 표시한 뒤 다른 문항을 확인하세요. 11번은 자동 분류 기준 보통이므로 앞 문항에 막혔다고 함께 미룰 필요는 없습니다. 후반 전체를 훑어 본인이 바로 식을 세울 수 있는 문항부터 시작하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형을 보기 위한 시간을 미리 남겨 두세요. 18번은 대칭과 접선의 수직 관계, 19번은 영역을 포함한 거리식, 20번은 인수분해가 출발점입니다. 연습할 때 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 따로 기록하면, 계산 속도를 높여야 하는지 출발 아이디어를 복습해야 하는지 구분할 수 있습니다.

검토에서는 부호와 경우 누락을 우선 확인하세요. 5번은 연장선의 방향, 12번은 음수로 나누는 과정, 16·17번은 기울기로 표현할 수 없는 직선이 중요합니다. 18·21번은 가능한 위치를 모두 보았는지, 19번은 자취의 영역, 22번은 사분면 제한을 적용했는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수정리와 근과 계수의 관계를 복습하세요. 주어진 근에서 차수를 낮추는 기본형을 익힌 뒤 켤레근과 공통근 조건을 연결하세요(1·15번 대비).
2. 문장 조건을 방정식과 부등식으로 바꾸세요. 실수 범위의 해를 구한 후 길이의 대소, 자연수, 삼각형 성립 조건을 적용하는 순서를 익히세요(2·3·4번 대비).
3. 절댓값과 이차부등식을 그래프로 확인하세요. 구간별 부호와 해집합의 모양을 먼저 정하고 계수의 부호를 추론하는 문제로 확장하세요(11·12번 대비).
4. 교점·분점·점과 직선 사이의 거리를 정리하세요. 원의 접선과 현의 중점에 수선을 내리는 문제로 연결해 거리식을 세워 보세요(5·6·7·9·13·16번 대비).
5. 원의 자취와 고정점을 연습하세요. 거리 조건으로 얻은 방정식에 원래 영역 제한을 적용하고, 매개변수와 관계없이 성립하는 부분을 분리하세요(8·14·19번 대비).
6. 경우를 나누는 문제를 묶어 연습하세요. 넓이 분할의 배치, 접선의 대칭, 원의 중심 위치, 무게중심의 조건을 그림으로 정리하세요(17·18·21·22번 대비).
7. 대수의 반복 구조와 중복을 점검하세요. 거듭제곱은 주기로 묶고, 곱으로 된 방정식은 중근과 공통근을 따로 확인하는 풀이를 써 보세요(10·20번 대비).