광남고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

광남고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

광남고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이 시험의 자료상 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수, 평면좌표입니다. 식의 변형에서 출발해 방정식의 근과 그래프, 도형 조건을 연결하는 구성이 확인됩니다.

처음에는 그래프의 교점과 근의 관계, 곱셈공식, 판별식의 부호처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 자연수 조건을 이용해 범위를 좁히거나 상황을 좌표와 식으로 옮겨야 합니다. 전개를 빠르게 하는 것만으로는 부족하고, 어떤 형태로 정리해야 다음 조건을 쓸 수 있는지 판단해야 합니다.

후반에는 복소수 거듭제곱의 반복, 절댓값에 따른 경우 구분, 교점까지의 거리와 근의 관계가 등장합니다. 서술·단답형에서는 특수한 값을 대입해 다항식을 정하거나 접선 조건을 항등식으로 해석합니다. 조건을 적용한 이유를 적는 연습이 풀이의 누락을 줄이는 데 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 어려움이 절반이며 후반에 연속 배치

이 표는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 나타내는 수치는 아닙니다. 쉬움으로 분류된 1~3번에서는 근의 합과 곱, 대칭식 변형, 실근의 존재 조건을 정확하게 적용하는 것이 중요합니다. 특히 축과 만나지 않는 조건과 접하는 조건을 구별해야 합니다.

보통 문항은 전개보다 구조 파악에서 시간이 갈릴 수 있습니다. 4번은 인수들을 묶는 순서, 8번은 통분 뒤 분자의 대칭식, 11번은 도형의 비를 이용한 식의 변형이 핵심입니다. 13번도 도형이 포함되어 있으므로 보통이라는 분류만 보고 계산을 서두르지 마세요.

어려움 문항은 끝에만 있는 것이 아닙니다. 6·9·10번에서 막혀도 뒤의 11~13번과 16번을 별도로 확인하세요. 17~22번은 어려움 문항이 이어지지만 필요한 개념은 서로 다르므로, 앞 문항의 풀이가 안 보인다는 이유로 후반 전체를 미룰 필요는 없습니다.

출제 단원 — 이차함수의 비중과 항등식의 조건 해석

가장 많은 이차함수는 그래프와 방정식의 관계에서 시작해 접선, 제한된 구간의 최댓값, 교점까지의 거리로 확장됩니다. 3번의 판별식 판단을 10번의 접선 조건으로 연결하고, 16번의 꼭짓점과 끝점 비교를 18번의 경우 구분으로 확장해 보세요. 같은 개념을 상황에 맞게 다시 쓰는 연습이 필요합니다.

다항식은 곱셈공식과 치환이 중심입니다. 2·8번의 대칭식 변형, 4·11번의 완전제곱 구조, 9번의 자연수 조건을 묶어 복습하세요. 항등식은 계수 비교뿐 아니라 나머지정리와 판별식까지 포함하므로, 단원 이름만 보고 비슷한 계산 문제라고 생각하면 준비가 좁아질 수 있습니다.

복소수에서는 거듭제곱의 주기와 켤레복소수의 성질이 모두 필요합니다. 이차방정식 14번은 허근의 켤레 관계를 사용하므로 복소수 학습과 연결됩니다. 평면좌표로 분류된 15번은 해설에서 직각삼각형, 내접원, 닮음을 활용합니다. 분류명과 함께 실제로 쓰이는 도형 성질도 확인하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 단계의 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 계산 중 얻은 후보나 관계식을 원래 조건과 대조해야 하므로, 검토 단계를 풀이의 일부로 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형과 출발점이 보이는 문항을 확보하세요. 6번에서 나머지 처리 방법이 떠오르지 않거나 10번의 좌표 설정이 길어지면 표시하고 다음 문항을 살펴보는 편이 좋습니다. 16번처럼 후반에도 비교적 익숙한 구조가 있으므로 번호만으로 풀이 순서를 정하지 마세요.

서술·단답형을 읽고 쓸 시간을 남겨 두세요. 21번은 조건에서 얻은 함숫값과 인수 구조를 구분해 적고, 22번은 접선 조건을 판별식으로 바꾸는 근거를 먼저 적는 것이 좋습니다. 연습할 때는 접근법을 찾는 데 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 기록해 보세요.

마지막 검토에서는 조건의 강도를 확인하세요. 7·22번의 모든 매개변수에 대해 성립한다는 조건, 10번의 실제 접점 범위, 14번의 허근 조건, 18번의 절댓값 부호가 대표적입니다. 20번은 등호의 성립 가능성, 21번은 자연수 조건과 나머지 차수까지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱셈공식과 대칭식 변형을 복습하고 긴 식에서 공통부분과 완전제곱을 먼저 찾으세요. 전개 방식과 구조를 이용한 방식을 비교해 보세요(2·4·8·11번 대비).
2. 근의 합과 곱, 판별식의 부호를 그래프와 연결하세요. 접한다는 말과 축을 만나지 않는다는 말을 각각 식으로 옮겨 설명하세요(1·3·7·22번 대비).
3. 나머지정리는 수의 나눗셈과 다항식의 나눗셈을 함께 연습하세요. 최종 나머지의 범위와 차수 제한을 따로 확인하세요(6·21번 대비).
4. 도형의 비와 닮음을 식으로 바꾸고 상황에 맞게 좌표를 잡는 연습을 하세요. 계산 뒤에는 길이의 양수 조건과 점의 실제 위치를 검토하세요(10·13·15번 대비).
5. 복소수의 거듭제곱은 관계식과 반복 규칙으로 정리하고 켤레복소수는 실수부분·허수부분으로 연결하세요. 허근 조건과 등호 성립까지 점검하세요(12·14·17·20번 대비).
6. 자연수 범위, 절댓값의 부호, 구간의 끝점을 표시하는 습관을 들이세요. 경우를 나눈 뒤에는 각 결과가 처음 가정을 만족하는지 되짚으세요(9·16·18·19번 대비).