매탄고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

매탄고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 뜻과 그래프의 기본 성질을 확인하면서 경우의 수를 여러 상황에 적용하는 구성입니다.

초반에는 순열조합 기호, 함숫값 대입, 함수의 종류, 점근선처럼 개념을 정확히 알고 있으면 풀이가 짧아지는 문항이 이어집니다. 중반에는 여사건, 판별식, 이웃하지 않는 배치 등 조건을 수학적 기준으로 바꾸는 과정이 필요합니다.

후반에는 함수와 경우의 수가 연결됩니다. 합성 결과가 상수함수가 되는 조건이나 일대일함수의 개수를 세는 조건을 읽어 내야 합니다. 앞부분을 빠르게 마치는 것과 함께, 뒤에서는 분류 기준을 적고 누락이나 중복을 점검하는 습관이 중요합니다.

난이도 분포 — 기본 개념 확인 뒤 후반에 모인 어려움

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~8번과 12번입니다. 대입이나 정의 확인이 중심이지만, 7번의 경로 제한과 8번의 근호 조건처럼 계산 전에 읽어야 할 제약이 있습니다. 쉬움으로 분류되어도 조건을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

보통 문항은 9·10·11·13번입니다. 곱의 홀짝을 여사건으로 바꾸거나 그래프에서 역방향 대응을 추적하는 등 접근법을 고르는 단계가 있습니다. 11번은 경우의 수 문제에 판별식이 결합되어 있어, 경우를 세기 전에 방정식의 조건을 정확히 세워야 합니다.

어려움 문항은 14~18번에 연속으로 놓입니다. 함수의 개수, 구간에 따른 합성함수 해석, 도형의 조합, 일대일 조건, 그래프의 교점 조건이 차례로 등장합니다. 자동 분류 결과는 실제 응시자의 체감 난도와 다를 수 있으므로, 학습할 때는 분류와 함께 자신이 막힌 풀이 단계를 기록하세요.

출제 단원 — 순열조합 중심, 함수 조건과의 연결

순열조합은 기호 계산부터 경로, 홀짝, 주사위, 자리 배치, 삼각형의 개수까지 다룹니다. 공식을 많이 외우기보다 무엇을 하나의 경우로 보는지 먼저 정해야 합니다. 순서를 구별하는지, 전체에서 제외할 경우가 무엇인지, 서로 겹치지 않게 나누었는지를 설명하는 연습이 효과적입니다.

함수 단원의 후반 문항은 대응의 성질을 경우의 수로 연결합니다. 14번은 합성 결과의 조건이 각각의 함수에 어떤 제한을 주는지, 17번은 논리 조건이 일대일성을 뜻하는지 파악해야 합니다. 단원별 표에서는 함수로 묶이지만 실제 대비에서는 순열조합과 연결해서 풀어 보세요.

유리함수의 독립 문항은 기본 성질을 확인하는 수준이지만, 후반에는 유리식과 무리식의 성질이 다른 단원과 함께 쓰입니다. 15번의 구간 해석과 18번의 정의역 검토를 위해서는 단원 이름에만 의존하지 말고 식의 형태와 그래프의 특징을 함께 정리해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 후반 조건 해석

작년과 올해 모두 과목은 수학(하)입니다. 총 문항은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같습니다. 쉬움은 늘고 보통은 줄었으므로 문항 수 감소만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 판단하기 어렵습니다. 기본 문항과 후반 조건 해석을 구별해 준비하는 편이 좋습니다.

단원별로는 작년에 순열조합과 무리함수가 가장 많았고, 올해는 순열조합이 가장 많습니다. 무리함수와 유리함수의 문항 수는 줄고 합성함수와역함수는 늘었습니다. 다만 단원 비중이 줄었다고 그래프 학습을 줄이기보다, 정의역과 합성 과정에 쓰이는 개념까지 연결해 복습하세요.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 15·16·17·18·20번이고, 올해는 14~18번입니다. 작년 서술·단답형에는 쉬움 문항이 있었으나 올해 16·17번은 모두 어려움입니다. 다음 시험을 대비할 때는 서술·단답형에서 분류 근거와 제외 이유를 남기는 연습에 시간을 확보하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 얻은 조건만으로 계산을 끝낼 수 없습니다. 가능한 경우를 나눈 뒤, 각 경우에서 남은 선택이나 추가 제약을 확인해야 풀이가 완성됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 중반에서 경우 분류가 길어지면 표시한 뒤 12번처럼 접근 가능한 문항이 남아 있는지 살펴보세요. 14번부터는 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로 앞부분의 계산을 반복 확인하느라 후반을 읽을 시간을 잃지 않도록 연습하세요.

서술·단답형은 계산보다 출발 근거를 짧게 남기는 것이 중요합니다. 16번은 삼각형이 되지 않는 선택을 왜 제외하는지, 17번은 왜 일대일함수로 세는지 먼저 적어 보세요. 객관식인 18번이 뒤에 남아 있으므로 서술·단답형에서 막혔을 때도 마지막 문항의 접근 가능성을 확인하세요.

마지막 검토에서는 새 계산보다 제한 조건을 확인하세요. 7번의 재방문 금지, 11번의 서로 다른 실근, 13번의 양 끝 조건이 대표적입니다. 함수 문항에서는 역방향 대응과 합성 순서를, 15·18번에서는 구간 경계와 원래 정의역을 다시 확인하면 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 뜻과 종류, 함숫값 대입, 역함수의 대응 관계를 복습하세요. 입력과 출력을 말로 설명한 뒤 계산하세요(2·3·5번 대비).
2. 유리함수와 무리함수는 정의역·치역·점근선·그래프 변환을 함께 정리하세요. 식을 바꾸어도 유지해야 할 제한을 표시하세요(4·6·8·12번 대비).
3. 순열조합 기호를 확인한 뒤 합의 법칙과 곱의 법칙을 구별하세요. 경로와 주사위 조건을 서로 겹치지 않는 경우로 나누어 보세요(1·7·11번 대비).
4. 여사건과 틈 배치를 연습하세요. 전체에서 뺄 대상, 사용할 수 있는 틈, 배치 순서의 구별을 풀이 첫 줄에 적으세요(9·13·16번 대비).
5. 함수의 대응을 그림으로 나타내고 합성과 역방향 추적을 연습하세요. 출력이 같은 경우와 다른 경우의 제한을 비교하세요(10·14번 대비).
6. 일대일성과 홀짝 조건을 결합한 경우의 수를 풀고, 구간별 함수 해석으로 확장하세요. 분류표와 정의역 표시를 남긴 뒤 계산하세요(15·17·18번 대비).