압구정고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

압구정고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 함수의 기본 성질과 그래프 해석을 바탕으로 조건이 붙은 계산 및 경우의 수를 다룹니다.

함수 문항에서는 식에 값을 대입하는 능력에서 출발해 합성의 성립 조건, 역함수의 존재, 그래프와 도형의 관계로 확장됩니다. 특히 정의역을 제한했을 때 치역이 어떻게 달라지는지, 합성 뒤 어느 구간의 식을 써야 하는지를 구별해야 합니다.

경우의 수에서는 공식 계산뿐 아니라 포함 여부, 여사건, 물건의 구별 여부를 읽어야 합니다. 자동 분류 기준 어려움 문항이 중반부터 이어지지만 서술·단답형 앞부분에는 기본 개념 문항도 있으므로, 전체를 훑고 풀이 순서를 잡는 연습이 유용합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~4번과 19·20번입니다. 합성함수의 함숫값, 역함수의 성질, 무리식 계산, 조합의 기본 기호 등을 확인합니다. 20번처럼 함수의 정의역과 치역을 직접 적는 문항은 개념을 알고 있어도 부등호나 제외되는 값을 잘못 쓰기 쉬우므로 끝까지 검토하세요.

보통은 5·6·14번입니다. 역함수의 존재 조건, 무리함수 그래프에서 식을 복원하는 과정, 적어도 조건의 여사건을 다룹니다. 이 구간은 이후 어려움 문항을 풀기 위한 기본 판단을 확인하는 데도 활용할 수 있습니다.

어려움은 객관식 중반과 후반에 넓게 분포하고 21~24번으로 이어집니다. 다만 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 7번의 매개변수 부호, 16번의 구간별 교점, 24번의 합성 순서처럼 풀이의 출발 조건을 정하는 데 집중하세요.

출제 단원 — 합성함수와 역함수의 비중이 큰 구성

합성함수와역함수는 함숫값 계산부터 합성의 성립 조건, 반복 합성의 주기, 구간별 그래프까지 다룹니다. 1·2번의 계산이 익숙하더라도 10번에서는 치역의 포함 관계를, 15·24번에서는 안쪽 함수의 출력이 어느 구간에 들어가는지를 따로 점검해야 합니다.

순열조합은 직선의 개수와 기호 계산에서 출발해 포함 여부에 따른 분류, 여사건, 분배 문제로 이어집니다. 유리함수는 제한된 범위의 최대·최소, 점근선과 사분면, 거리의 최소화, 실근의 존재 조건을 다루므로 그래프의 모양을 식의 구조와 연결해야 합니다.

무리함수에서는 유리화, 그래프 복원, 정의역과 치역을 바탕으로 12번의 도형 조건까지 확장됩니다. 함수 단원의 18번은 치역의 원소 수를 만족시키는 함수를 세는 문항입니다. 단원별 표에서 20번은 무리함수로 분류되어 있지만 실제 내용에는 유리함수의 정의역과 치역도 함께 포함됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 계산하기 전에 유효한 범위를 정해야 한다는 것입니다. 풀이를 복습할 때는 계산식보다 경우를 나눈 이유와 경계 포함 여부를 먼저 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 개념을 확인한 뒤, 7번부터 조건 정리가 길어지면 표시하고 이동하세요. 14번과 서술·단답형의 19·20번도 먼저 살펴볼 만합니다. 객관식을 모두 마친 뒤 서술·단답형에 들어가려 하면 기본 문항에 쓸 시간이 부족해질 수 있습니다.

다시 볼 문항에는 다음 출발점을 짧게 적어 두세요. 12번은 도형의 경계를 식으로 표현하고, 18번은 가능한 함숫값 집합을 나열하며, 23번은 받는 물건의 종류에 따라 분류합니다. 연습에서는 조건 정리와 계산에 드는 시간을 구별해 기록하면 어디서 지연되는지 확인하기 좋습니다.

마지막 검토는 범위와 중복에 집중하세요. 5·10번은 정의역·치역·공역의 역할, 17·20번은 끝값의 포함 여부, 16·21번은 교점의 유효 범위를 확인하세요. 23번에서는 같은 물건을 구별해 세지 않았는지, 24번에서는 각 후보가 경우 분류의 가정을 만족하는지 되짚어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성 순서와 역함수의 기본 성질을 먼저 정리하세요. 단순 대입을 익힌 뒤 반복 합성의 순환 구조를 찾아 보세요(1·2·11번 대비).
2. 정의역·치역·공역을 구별해 적는 연습을 하세요. 역함수의 존재 조건과 합성의 성립 조건을 집합의 포함 관계로 설명하세요(5·10·17·20번 대비).
3. 유리화와 무리함수 그래프 복원을 복습하고 유리함수의 점근선을 함께 표시하세요. 제한된 범위에서 증가·감소와 끝값을 판단해 보세요(3·6·7·8번 대비).
4. 그래프 조건을 도형과 교점 문제로 확장하세요. 거리의 최소화에서는 등호 성립을, 교점 문제에서는 구간 제한을 확인하세요(12·13·16·21번 대비).
5. 구간별 함수의 합성은 입력과 출력의 범위를 표로 정리하세요. 구간을 나눈 뒤 그래프를 그리거나 매개변수 조건을 풀고 후보를 검토하세요(15·24번 대비).
6. 경우의 수는 기호 계산에서 포함 여부, 여사건, 분배로 순서대로 연습하세요. 물건의 구별 여부와 분류 사이의 중복을 말로 설명해 보세요(4·9·14·19·22·23번 대비).
7. 치역의 원소 수가 제한된 함수 세기를 마무리하세요. 가능한 함숫값 집합을 분류한 뒤 실제 입력에 배정하는 단계까지 구별해 정리하세요(18번 대비).