한솔고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

한솔고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

한솔고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 시험은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 여러가지부등식을 다룹니다. 함수의 대응 관계와 그래프를 이해하는 능력에 경우의 수를 세는 능력이 함께 요구됩니다.

함수 문제는 단순한 대입에서 출발하지만, 뒤로 갈수록 치역의 원소 수와 함숫값의 합을 연결하거나 합성 결과가 일정하다는 조건을 해석해야 합니다. 유리함수와 무리함수에서는 점근선·정의역·치역을 확인한 뒤 대칭과 최댓값 조건으로 넘어갑니다. 그래프를 간단히 그리는 습관이 계산 방향을 잡는 데 도움이 됩니다.

순열조합은 공식 대입만으로 정리되지 않습니다. 이웃하지 않는 배치, 대진표의 같은 경우, 빈 곳이 없어야 하는 분배처럼 서로 다른 조건을 구별해야 합니다. 서술·단답형에서도 구간을 나눈 근거와 분배의 분류 기준을 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 확보 뒤 후반 조건 해석

쉬움에 해당하는 1·7번은 합성 순서와 공약수의 개수라는 기본 개념을 확인합니다. 보통 문항이 많은 만큼 초반부터 풀이를 정확히 마무리하는 것이 중요합니다. 특히 9번의 대진표와 15번의 분배에서는 같은 경우를 여러 번 세지 않았는지 확인해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 16번부터 등장합니다. 다만 17번은 보통이며 서술·단답형 21번도 보통입니다. 16번에서 오래 막혔다고 뒤의 문제를 모두 미루지 말고, 전체를 훑어 접근 가능한 문항을 찾는 편이 좋습니다.

이 난이도는 자동 분류 기준으로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 후반 문항은 치역과 중복, 합성 조건, 움직이는 구간을 해석하는 단계가 길어질 수 있습니다. 계산 속도와 별개로 조건을 그림이나 표로 정리하는 시간을 줄여야 합니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 조건 해석

가장 많이 나온 순열조합은 자리 배치, 기호의 계산, 약수, 대진표, 나머지 분류, 분배까지 형태가 다양합니다. 같은 단원 안에서도 순서를 구별하는지, 대상을 구별하는지, 빈 곳을 허용하는지에 따라 세는 방법이 달라집니다. 공식을 고르기 전에 무엇을 하나의 경우로 볼지 말로 설명해 보세요.

함수의 3·16·20번은 대응과 경우의 수가 연결됩니다. 일대일함수를 순열로 해석하거나 치역의 원소 수로 중복된 함숫값을 찾아야 합니다. 단원 이름이 함수라고 해서 그래프 계산만 연습하면 이런 조건형 문제에 대응하기 어렵습니다.

유리함수에서는 대칭점과 점근선, 치역을 바탕으로 성질과 최솟값을 판단합니다. 무리함수에서는 부호와 정의역 확인이 출발점이며, 후반에는 대칭을 통한 넓이 해석과 합성함수의 최댓값으로 확장됩니다. 21번은 절댓값의 구간별 그래프를 도형으로 연결하므로 구간 나누기를 함께 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 앞에서 정한 구조가 뒤의 선택 범위를 제한한다는 점입니다. 풀이 전에 치역, 변환된 구간, 남은 바구니를 표시하고 각 경우가 서로 겹치지 않는 이유를 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근 방법이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 9번의 대진표나 15번의 분배에서 중복 정리가 길어지면 표시하고 넘어간 뒤 다시 보는 연습을 권합니다. 객관식 후반을 모두 끝내고 서술·단답형을 시작하기보다, 구간별 그래프가 보이는 21번도 먼저 확인해 보세요.

후반 함수 문항은 계산 전에 조건을 짧게 번역하세요. 16번에서는 치역의 원소와 실제 출력 횟수를 구분하고, 18번에서는 합성 조건을 치역 위의 조건으로 옮깁니다. 20번의 일대일대응은 순열로 표현할 수 있으므로 대응 그림을 무작정 나열하기 전에 여사건이 간단한지 살피세요.

마지막 검토에서는 정의역과 경계를 우선 확인하세요. 11번은 점근선에 가까워지는 값과 실제로 얻는 값을 구별하고, 12번은 좌표축 위의 점을 분리해야 합니다. 22번은 구간의 양 끝과 꼭짓점의 포함 여부, 23번은 최소 개수 조건이 모든 바구니에 반영되었는지를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성함수의 입력과 출력 순서를 그림으로 복습하세요. 역함수 소거와 반복 합성의 주기를 구별해 정리하세요(1·2·6번 대비).
2. 유리함수는 점근선과 대칭점부터 표시하세요. 제한된 정의역의 치역을 구한 뒤 치환한 식의 최솟값까지 연결하세요(8·10·11번 대비).
3. 무리함수는 근호 안의 조건과 계수 부호를 함께 확인하세요. 증가·감소를 이용해 구간의 양 끝을 대응시키세요(12·14번 대비).
4. 경우의 수는 배치와 선택, 중복 제거를 나누어 연습하세요. 틈에 넣기와 대진표의 대칭, 나머지 분류와 여사건을 각각 설명해 보세요(4·5·7·9·13·15번 대비).
5. 함수 조건을 대응과 치역으로 번역하세요. 함숫값의 중복, 입력의 비율 변화, 합성 결과, 고정된 원소의 존재를 구별하세요(3·16·17·18·20번 대비).
6. 그래프의 대칭과 구간 분할을 도형·최댓값 문제에 적용하세요. 변환된 구간과 꼭짓점의 위치를 그려 근거를 남기세요(19·21·22번 대비).
7. 조건부 분배는 제한이 강한 대상부터 배치하세요. 분배 형태와 바구니 배정을 구별하고 최소 개수 조건으로 다시 검사하세요(23번 대비).