한솔고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

한솔고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

한솔고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 정의부터 그래프의 위치 관계, 조건을 만족하는 함수의 개수까지 다룹니다.

초반에는 역함숫값, 치역, 근호식의 실수 조건처럼 개념을 직접 적용하는 문제가 놓였습니다. 중반 이후에는 좌표와 도형을 연결하거나 합성함수의 조건을 단계적으로 해석해야 합니다. 공식을 기억하는 데서 멈추지 말고 어떤 조건에서 그 공식을 쓸 수 있는지 설명할 수 있어야 합니다.

서술·단답형 20·22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 끝부분을 남은 시간에만 처리하려 하면 증가함수와 역함수의 논리, 치역을 제한하는 경우 나누기를 충분히 정리하기 어렵습니다. 객관식 풀이 중에도 후반 문항의 답안 작성 시간을 확보하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 시작되는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2·3·8번은 개념을 빠르게 확인할 수 있는 구간입니다. 다만 3번의 분모 조건과 8번의 학생 구별처럼 짧은 문제에도 확인할 조건이 있으므로, 속도를 높이더라도 마지막 점검은 유지하세요.

9·10·11번에서 그래프와 도형, 합성함수의 해석이 연이어 등장합니다. 여기서 막혔다고 뒤쪽 문제도 모두 같은 방식으로 어렵다고 판단할 필요는 없습니다. 보통으로 분류된 12·13·15번을 확인해 풀 수 있는 문제를 먼저 확보하세요.

16~22번은 매개변수, 합성함수, 함수의 개수가 이어지는 구간입니다. 자동 분류 기준의 난이도는 학습 순서를 정하는 참고 자료이며, 개인에게 필요한 풀이 시간은 그래프 해석과 경우 나누기 숙련도에 따라 달라집니다.

출제 단원 — 무리함수의 비중과 함수의 개수

무리함수가 가장 많지만 같은 풀이를 반복하는 구성은 아닙니다. 실수 조건, 최대·최소, 그래프의 성질에서 출발해 정사각형과의 만남, 절댓값을 포함한 교점 개수까지 이어집니다. 근호 안의 조건을 적는 습관이 후반 응용 문제의 기초가 됩니다.

함수 단원의 후반 문항은 경우의 수와 연결됩니다. 18번은 자기 합성함수의 치역을, 19번은 최솟값과 최댓값을, 22번은 출력 쌍의 합집합을 기준으로 셉니다. 순열조합 공식만 반복하기보다 무엇을 먼저 고정해야 중복 없이 셀 수 있는지 연습하세요.

유리함수에서는 점근선과 절편을 읽는 4번을 바탕으로 9번의 넓이와 14번의 직선 위치 관계로 확장됩니다. 단원 이름이 달라도 정의역, 교점, 경계라는 공통 언어로 풀이를 정리하면 연결해서 복습하기 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합에서 무리함수로 비중 이동

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 6문항에서 올해 11문항으로 늘었고, 총 문항과 서술·단답형 문항 수는 줄었습니다. 문항 수가 적어졌다는 사실만으로 부담이 줄었다고 볼 수 없으며, 복합 조건을 정리하는 연습이 더 필요합니다.

작년에는 순열조합이 7문항으로 가장 많았고 올해는 무리함수가 6문항으로 가장 많습니다. 공통 단원 중 함수는 4문항에서 5문항, 합성함수와역함수는 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 작년에 비중이 컸던 순열조합만 집중하기보다 함수의 조건을 경우의 수로 옮기는 연습까지 연결하세요.

작년의 어려움은 16번부터 나타났지만 올해는 9번부터 등장합니다. 특히 올해는 16~22번이 연속으로 어려움에 해당합니다. 다음 시험을 준비할 때는 앞부분의 기본 문제를 정확히 처리하고, 중반에서 막힌 문제를 잠시 보류한 뒤 다시 접근하는 방식도 연습할 필요가 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 국소 조건을 만족시킨 뒤 전체 조건을 다시 확인해야 한다는 데 있습니다. 작은 표에 구간이나 출력의 합집합을 적어 두면 누락과 중복을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 역함숫값과 치역, 기본 그래프처럼 해결 방향이 바로 보이는 문제를 먼저 처리하세요. 9~11번에서 식을 세운 뒤 진전이 없으면 막힌 조건을 짧게 적고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 미완성 풀이에 표시를 남겨야 돌아왔을 때 같은 고민을 반복하지 않습니다.

20번은 역함수의 관계를 설명하고 구간을 확인하는 시간이 필요하며, 22번은 경우를 나눈 근거를 정리해야 합니다. 시험을 연습할 때는 후반 서술·단답형에 들어간 시점을 기록해 두세요. 끝부분에 도달한 뒤에야 답안 작성을 시작하는 상황을 줄이는 것이 목표입니다.

검산은 계산 전체를 다시 하기보다 조건을 대조하는 방식으로 하세요. 3번은 분모의 경계, 7번은 계수의 부호, 14번은 방정식의 차수가 바뀌는 경우, 18·22번은 실제 치역, 21번은 치환한 변수의 범위가 점검 대상입니다. 답안을 고친 경우에는 그 변경이 다른 경우의 조건과 충돌하지 않는지도 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의와 허용 범위부터 정리하세요. 역함수의 의미, 치역의 중복 제거, 근호와 분모의 조건을 말로 설명한 뒤 계산합니다(1·2·3·6번 대비).
2. 기본 그래프를 시작점·점근선·증가 방향으로 요약하세요. 계수 부호가 달라질 때 정의역과 최대·최소가 어떻게 달라지는지도 확인합니다(4·7·15번 대비).
3. 경우의 수는 선택과 배치를 분리해서 연습하세요. 경로 분류, 빈자리 활용, 절댓값 선택과 부호 선택을 각각 구별합니다(5·8·12·13번 대비).
4. 그래프와 도형을 연결하세요. 좌표 차로 길이를 표현하고 대칭성과 경계의 접촉을 그림에 표시하는 연습을 합니다(9·10·14·16번 대비).
5. 합성함수는 안쪽 함숫값을 기준으로 다시 읽으세요. 고정점과 제곱수 조건, 증가함수와 역함수의 관계를 각각 구분해서 설명합니다(11·17·20번 대비).
6. 함수의 개수와 구간별 교점 문제를 마무리하세요. 치역의 합집합과 최댓값·최솟값으로 경우를 나눈 뒤 중복과 누락을 점검하고, 풀이 근거를 문장으로 남깁니다(18·19·21·22번 대비).