목동고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

목동고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

목동고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 함수의 대응 관계를 세는 문제와 그래프의 성질을 해석하는 문제가 함께 나옵니다.

전체 18문항은 객관식 16문항과 서술·단답형 2문항으로 구성됩니다. 문항 수만 보고 계산량이 적다고 판단하기는 어렵습니다. 4번의 절댓값 그래프와 무리함수, 14번의 합성함수 최솟값처럼 조건을 여러 단계로 옮겨야 하는 문항이 있기 때문입니다.

경우의 수와 함수가 별개로만 출제되지 않는 점도 중요합니다. 12번은 일대일대응의 성질로 가능한 대응을 좁히고, 15번은 함수의 조건을 순열 또는 조합으로 해석합니다. 공식을 외우는 데서 멈추지 말고 그 공식을 선택하는 이유를 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 초반부터 섞인 어려움 문항

난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 1번은 조합의 대칭 성질을 확인하는 문항입니다. 보통 문항도 색칠의 인접 관계, 나머지의 주기, 그래프의 대칭처럼 먼저 찾아야 할 구조가 있으므로 단순 대입 문제로만 생각하지 마세요.

4번과 6번에서 어려움이 등장하고, 8~10번에서는 집합과 함수의 개수, 유리함수의 그래프, 조각함수의 실근 해석으로 주제가 바뀝니다. 앞 문제의 풀이가 길어졌다고 뒤 문제도 같은 방식일 것으로 예상하지 말고, 새 문항마다 조건을 다시 정리해야 합니다.

후반에는 15번이 보통으로 분류되어 있어 먼저 확보할 지점이 됩니다. 16번 이후에는 합성 그래프, 무리함수의 합성 조건, 절댓값이 있는 유리식이 이어집니다. 특히 서술·단답형에서는 계산 외에 가능한 경우를 정리하고 제외할 근거를 남길 여유가 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 조건 해석

순열조합은 출제량이 가장 많지만 소재는 다양합니다. 색칠, 물건 분배, 계승의 소인수 지수, 최단경로, 조건부 자리 배치, 함수의 개수까지 나옵니다. 문제의 겉모습보다 무엇을 먼저 정하고 나머지를 어떻게 세는지를 기준으로 묶어 복습하는 편이 좋습니다.

유리함수는 해당 문항 모두가 어려움으로 자동 분류됩니다. 9번에서는 점근선으로 구간을 나누고, 14번에서는 치역을 새로운 변수의 범위로 옮기며, 18번에서는 절댓값의 부호 선택을 유리식에 반영합니다. 분모가 사라지는 계산 과정에서도 원래의 제외 조건은 유지해야 합니다.

무리함수는 그래프의 교점과 넓이, 조각함수, 합성 조건으로 출제됩니다. 근호 안의 조건만 확인하고 끝내지 말고 근호의 값이 음수가 될 수 없다는 사실까지 사용하세요. 합성함수 역시 안쪽 함수의 출력 범위를 먼저 알아야 바깥쪽 함수의 식과 그래프를 정확히 적용할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항은 줄고 어려움 비중은 증가

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 12문항에서 11문항으로 줄었지만, 총 문항이 23문항에서 18문항으로 줄어 어려움의 비중은 커졌습니다. 서술·단답형이 8문항에서 2문항으로 줄었다는 형식 변화와 난이도 구성은 따로 보아야 합니다.

작년에는 순열조합과 무리함수가 각 7문항으로 같았으나 올해는 순열조합이 7문항을 유지하고 무리함수가 4문항으로 줄었습니다. 유리함수도 5문항에서 3문항으로 줄었지만 올해 해당 문항은 모두 어려움입니다. 출제량이 줄어든 단원이라고 개념 적용 연습을 줄이는 것은 적절하지 않습니다.

작년에도 4·6번에 어려움 문항이 있었고, 올해 역시 같은 번호에서 초반 고비가 나타납니다. 작년의 서술·단답 구간에는 쉬움과 보통도 섞였지만 올해 마지막 서술·단답 문항은 모두 어려움입니다. 다음 대비에서는 초반 막힘에 대응하는 연습과 후반 조건 정리 시간을 함께 확보하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 풀이 구조를 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산을 시작하기 전에 가능한 범위를 정해야 한다는 것입니다. 경우표, 치역 표시, 부호표를 먼저 작성하면 계산이 길어져도 어디까지 확인했는지 추적할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1번과 보통으로 분류된 2·3·5·7·11·15번에서 풀이 방향을 빠르게 확인하세요. 4번이나 6번에서 경우 분리가 정리되지 않으면 현재까지의 조건을 적고 다음 문항을 살피는 편이 좋습니다. 번호순으로 끝까지 풀겠다는 계획보다 해결 가능한 문항을 확보하는 계획이 적합합니다.

17·18번은 마지막에 처음 읽지 않도록 시험지를 훑을 때 필요한 조건과 소문항 구성을 확인하세요. 17번은 정의 조건에서 시작해 가능한 함숫값을 좁히고, 18번은 부호별 후보를 정리해야 합니다. 실제 시험 시간에 맞춘 연습에서는 계산 시간뿐 아니라 조건을 기록하고 대입해 확인할 시간을 따로 남겨 두세요.

최종 검토에서는 서로 다른 조건을 한꺼번에 읽기보다 종류별로 확인하세요. 2번의 인접 관계와 11번의 끊긴 도로는 그림 조건, 4·14번의 경계 포함 여부와 17번의 근호 조건은 범위 조건입니다. 6·13·15번에서는 구별과 순서, 18번에서는 분모 조건이 유지됐는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 조합의 성질과 소인수 지수를 먼저 복습하세요. 공식을 쓰기 전에 적용 조건을 말로 설명하고 계산하는 연습입니다(1·7번 대비).
2. 그림을 경우의 수로 옮기세요. 색칠에서는 인접 관계를 표시하고, 최단경로에서는 가능한 이전 교차점만 누적하세요(2·11번 대비).
3. 순열과 조합을 선택하는 기준을 익히세요. 분배와 자리 배치는 종류별 구조를 먼저 정하고, 함수의 감소 조건에서는 순서가 이미 정해지는지 확인하세요(6·13·15번 대비).
4. 유한집합의 대응을 표로 정리하세요. 집합의 공통 원소, 일대일대응, 입력의 허용 범위를 순서대로 반영하는 연습입니다(8·12번 대비).
5. 함수 그래프를 구간별로 그리세요. 나머지의 주기, 절댓값의 경계, 점근선, 조각함수의 연결 지점을 먼저 표시하세요(3·4·9·10·16번 대비).
6. 치역과 합성 조건을 집중해서 연습하세요. 도형의 이동, 열린 경계의 최솟값, 근호의 부호 조건을 설명한 뒤 계산으로 옮기세요(5·14·17번 대비).
7. 마지막으로 절댓값 유리식의 부호표를 작성하고 원래 조건에 검산하세요. 전체 시험지를 다시 풀 때도 경우 분류와 검토에 쓴 시간을 따로 기록하세요(18번 대비).