보성고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

보성고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 유리함수, 무리함수, 순열조합, 함수입니다. 유리식과 무리식의 계산부터 그래프의 대칭성, 합성과 역함수, 조건이 붙은 배열과 선택까지 다룹니다.

함수 문항은 식을 정리하는 능력과 그림을 읽는 능력을 함께 요구합니다. 점근선과 대칭점을 찾으면 함숫값의 합이나 교점 조건을 간단히 볼 수 있고, 무리함수에서는 정의역과 근호의 부호가 풀이의 범위를 결정합니다. 식을 세우기 전에 그래프의 기본 형태를 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

순열조합은 기호 계산에서 출발해 선택과 배열의 결합, 인원 배정, 이웃하지 않는 배열, 영역에 수를 적는 문제로 확장됩니다. 같은 곱의 법칙을 쓰더라도 무엇을 먼저 고정하는지가 다릅니다. 기본형을 정확히 처리한 뒤 조건을 분류하는 데 시간을 남기는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반 조건 해석

쉬움 문항은 순열·조합 기호, 평행이동, 그래프의 기본 성질, 유리식 계산, 역함숫값에 걸쳐 있습니다. 특히 16번도 쉬움으로 분류되어 있으므로 서술·단답형이라는 이유만으로 뒤로 미루지 마세요. 익숙한 개념을 어떤 형태로 묻는지 먼저 확인하는 것이 좋습니다.

보통 문항에서는 여러 단계를 연결해야 합니다. 3번은 과목을 고르는 과정과 순서를 정하는 과정을 구별하고, 8번은 좌표로 넓이를 표현하며, 11번은 배정 이후의 선정까지 계산에 반영해야 합니다. 14·15·19번도 자동 분류 기준 보통이지만 조건을 빠뜨리면 풀이 전체가 달라질 수 있습니다.

어려움은 12·13번과 후반의 17·18·20·21번에 분포합니다. 그래프 성질을 종합하거나 반복되는 구조를 찾아야 하는 문항이 포함됩니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 앞 문항에서 막혀도 뒤의 기본형을 찾아 풀이를 이어가세요.

출제 단원 — 유리함수·무리함수와 조건부 경우의 수

유리함수에서는 4·7번의 이동과 식 정리가 9번의 반복 합성, 12·15·18번의 대칭성 해석으로 이어집니다. 점근선을 기준으로 식을 정리하고 대칭점을 표시하는 연습을 하세요. 특히 함숫값을 하나씩 대입하는 대신 대칭인 입력을 짝지을 수 있는지 살펴보는 것이 좋습니다.

무리함수 단원에는 무리식 계산과 관계식의 활용도 포함되어 있습니다. 8번은 좌표와 넓이, 10번은 이동과 대칭을 이용한 넓이 해석을 다룹니다. 후반의 17·21번은 반복 조건이나 합성함수의 최댓값을 연결하므로 기본 그래프를 그린 다음 조건을 다른 함수의 성질로 옮기는 연습이 필요합니다.

순열조합에서는 13번의 반복 숫자 배열과 20번의 영역별 수 배정이 자동 분류 기준 어려움입니다. 19번의 적어도 조건은 여사건과 포함·배제로 처리할 수 있습니다. 함수로 분류된 14번도 치역을 고르고 대응시키는 경우의 수와 연결되므로, 단원 이름과 별개로 선택과 배열의 구별을 함께 익히세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 무리함수 비중과 후반 조건 처리

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 전체 문항과 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 늘었고 쉬움도 늘었습니다. 따라서 문항 수의 감소만으로 풀이 부담이 줄었다고 판단하기 어렵습니다. 기본형을 확보하면서 복합 조건에 대응하는 연습을 함께 해야 합니다.

작년 순열조합은 8문항, 유리함수는 6문항, 무리함수는 4문항이었습니다. 올해는 순열조합이 6문항이고 유리함수·무리함수가 각각 7문항입니다. 특히 무리함수의 비중이 커졌으므로 근호 계산만 반복하기보다 넓이, 반복 관계, 합성함수의 구간 해석까지 연결해 준비하세요.

작년 어려움은 14·18·19·21·22번이었고, 올해는 12·13·17·18·20·21번입니다. 올해는 객관식 중간 이후부터 어려움이 나타나며 마지막 객관식까지 이어집니다. 다음 시험 대비에서는 후반을 일괄적으로 미루기보다 전체에서 접근 가능한 문제를 찾는 풀이 순서를 연습하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 다른 표현으로 바꾸는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 새 식을 세우기 전에 주기, 대칭, 단조성 중 활용할 구조를 찾아야 풀이가 간결해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기호 계산과 평행이동처럼 출발점이 분명한 문항을 먼저 처리하세요. 12·13번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 14~16번을 확인하는 것이 좋습니다. 서술·단답형 뒤에도 객관식 21번이 있으므로 시험 전체를 훑고 해결 가능한 문항을 놓치지 않도록 하세요.

서술·단답형은 계산 전에 풀이의 기준을 짧게 남기세요. 17번은 보조함수의 반복 관계, 18번은 교점의 대칭, 19번은 제외할 사건, 20번은 먼저 고정할 영역을 적으면 다음 단계가 분명해집니다. 연습할 때는 조건 해석에 시간이 걸렸는지, 식을 세운 뒤 계산이 길어졌는지를 나누어 기록하세요.

마지막 검토는 조건 누락을 중심으로 하세요. 6번은 역함수의 정의역, 7·16번은 분모 조건, 13번은 첫 자리 제한, 19번은 포함·배제의 중복 보정이 중요합니다. 17번의 구간 경계와 21번의 제곱 전 부호 조건도 다시 확인하면 계산을 처음부터 되풀이하지 않고 오류를 찾는 데 도움이 됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열과 조합의 기호, 선택과 배열의 차이를 복습하세요. 필수 대상을 고정한 다음 선후 조건을 적용하는 순서를 익히세요(1·3번 대비).
2. 유리식과 무리식 계산을 정리하세요. 유리화와 약분 뒤에도 원래 식의 정의 조건을 유지하는 연습을 하세요(2·5·7번 대비).
3. 함수의 기본형을 직접 그리세요. 평행이동, 점근선, 정의역·치역을 표시한 뒤 역함숫값과 대칭인 입력의 관계로 확장하세요(4·6·15·16번 대비).
4. 그래프에서 좌표와 넓이를 표현하고 반복 합성의 규칙을 찾으세요. 개별 값을 계산하기 전에 대칭이나 주기로 줄일 수 있는지 확인하세요(8·9·10·12번 대비).
5. 조건부 경우의 수는 먼저 고정할 대상과 나눌 기준을 문장으로 쓰세요. 배정, 치역 선택, 틈 배열, 포함·배제, 인접 조건을 구별해 연습하세요(11·13·14·19·20번 대비).
6. 복합 함수 문제는 기본 구간과 전체 구간의 관계를 연결하세요. 주기 구조, 공통 대칭축, 단조성에 따른 구간 이동을 설명한 뒤 경계를 검토하세요(17·18·21번 대비).