압구정고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

압구정고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 사칙연산에서 출발해 나머지 조건의 결합과 함수 그래프의 해석으로 이어지는 구성입니다.

기본 문항에서는 전개와 동류항 정리, 복소수의 곱셈, 판별식의 의미를 확인합니다. 응용 문항에서는 같은 다항식을 서로 다른 나눗셈 형태로 나타내거나, 식의 인수를 다시 묶고 공통부분을 찾아야 합니다. 계산량을 줄이려면 주어진 표현을 그대로 전개하기 전에 사용할 성질을 정해야 합니다.

서술·단답형은 공식 변형, 삼각형의 변 사이 관계, 근과 계수의 관계, 그래프의 교점, 제한된 범위의 최솟값을 다룹니다. 형식만 보고 난도를 판단하기 어렵습니다. 18번은 기본 공식 활용이고 21번은 구간별 교점 검토가 필요하므로, 문제별로 출발점과 검토할 조건을 구별하세요.

난이도 분포 — 중반의 연속 고난도와 후반 조건 해석

쉬움은 1·2·10·13·18번으로, 다항식과 복소수의 계산 및 이차방정식의 근 판별에 해당합니다. 보통 문항은 초반과 후반에 고르게 섞여 있습니다. 기본형을 빠르게 풀되, 공식 전개의 교차항이나 판별식의 부호를 확인하는 짧은 검산을 생략하지 마세요.

7~9번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지는 구간입니다. 수의 나눗셈을 나머지정리로 바꾸고, 여러 나눗셈 조건을 연결하며, 인수의 묶음을 바꾸는 사고가 필요합니다. 이 구간에서 풀이가 길어져도 뒤의 10번처럼 직접 계산할 수 있는 문항을 함께 미루지 않는 운영이 좋습니다.

12번은 주기와 경우 분류, 16번은 교점의 의미와 항상 성립하는 조건, 21번은 구간별 그래프, 23번은 인수와 근의 관계를 요구합니다. 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 다만 계산에 앞서 조건을 정리하는 시간이 필요한 문항의 위치를 파악하는 데 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 다항식의 비중과 이차함수의 조건 판단

다항식은 연산과 곱셈 공식뿐 아니라 나눗셈, 조립제법, 공통부분 치환, 도형 조건의 대수적 해석까지 포함합니다. 특히 3·5·8번은 나눗셈의 구조를 읽는 연습이 연결됩니다. 나누는 식이 달라지면 몫과 나머지를 어떻게 다시 표현할지 설명할 수 있어야 합니다.

이차함수는 15·16·17·21·22번에 배치되어 있습니다. 축과의 접촉, 직선과의 교점, 제한된 범위의 최솟값을 구별해야 합니다. 접한다는 조건을 판별식으로 옮기는 것과 최솟값을 꼭짓점에서 갖는지 확인하는 것은 별도의 판단이므로, 그래프를 간단히 그려 적용할 조건부터 정하세요.

항등식의 7·23번은 다른 개념과의 연결이 중요합니다. 나머지정리를 수의 나눗셈에 적용하거나 공통인수와 근의 합을 함께 사용합니다. 복소수는 단순 연산에서 켤레복소수의 성질과 거듭제곱의 주기로 확장되며, 이차방정식은 판별식과 근과 계수의 관계를 각각 점검합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 해설의 조건 연결 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 조건을 적용하는 순서가 풀이 길이를 바꾼다는 데 있습니다. 식을 정리하기 전 사용할 조건을 적고, 계산 뒤 아직 쓰지 않은 조건이 남았는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 연산과 기본 개념을 바로 적용할 수 있는 문제를 먼저 확보하세요. 7~9번에서 출발 식이 보이지 않으면 표시하고 뒤 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형을 모두 마친 뒤에야 마지막 객관식인 23번을 발견하지 않도록, 시작할 때 전체 구성을 살펴보세요.

서술·단답형은 요구하는 답안 형식을 먼저 확인하세요. 18번은 답만 쓰는 형식이지만 19~22번은 풀이 과정도 요구합니다. 19번은 제곱의 합에서 결론으로 이어지는 근거를, 20번은 각 방정식에 적용한 근과 계수의 관계를 구별해 쓰고, 21번은 경우를 나눈 기준을 남기는 연습이 필요합니다.

검토 시간에는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건을 확인하세요. 8번의 차수와 부호, 11·14번의 실수 계수 전제, 16번의 항상 성립한다는 표현을 살피세요. 17·22번은 꼭짓점과 허용 구간의 위치를, 21번은 구간 경계에서 중복된 교점을, 23번은 최종 후보를 가르는 부호 조건을 확인하면 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 전개와 곱셈 공식을 먼저 점검하세요. 부호와 교차항을 확인한 뒤 합·곱·차 사이의 관계를 변형하는 연습으로 이어 가세요(1·2·18번 대비).
2. 나눗셈의 기본 등식과 연속 조립제법을 정리하세요. 나머지의 차수를 먼저 적고 나누는 식이 바뀔 때 같은 다항식을 다시 표현해 보세요(3·5·6·8번 대비).
3. 수치 대입, 공통부분 치환, 인수정리를 연결하세요. 전개와 구조 활용의 풀이 길이를 비교하고 여러 조건을 적용할 순서를 설명해 보세요(4·7·9·23번 대비).
4. 복소수는 연산, 켤레의 성질, 주기를 나누어 복습하세요. 명제에는 반례를 찾아 보고 주기 문제에는 가능한 값을 표로 정리하세요(10·11·12·14번 대비).
5. 판별식과 근과 계수의 관계를 함께 연습하세요. 근의 종류, 접촉, 교점 조건을 각각 어떤 방정식에 적용하는지 먼저 적어 보세요(13·15·16·20번 대비).
6. 최대·최소와 교점 문제는 구간 표시부터 시작하세요. 축과 끝점을 비교하고 경계의 중복을 검사하며, 도형 조건은 비음수인 식으로 바꾸는 근거도 연습하세요(17·19·21·22번 대비).