가락고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

가락고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

가락고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열조합을 중심으로 구성됐으며 이차방정식의 실근 조건도 포함합니다. 출제 단원은 등록된 문항 분류를 기준으로 정리했습니다.

함수에서는 식을 구하는 계산만큼 그래프의 성질을 읽는 일이 중요합니다. 3번은 조각별 치역과 역함수 존재 조건을 함께 보고, 8번은 절댓값으로 갈라지는 그래프에서 교점 수가 달라지는 경계를 찾아야 합니다. 같은 무리함수라도 필요한 판단 과정이 다릅니다.

경우의 수는 약수의 개수부터 자연수 해, 사전식 배열, 조합 기호, 도형의 개수까지 형태가 다양합니다. 서술·단답형에서도 함수의 최소 넓이와 정의역·치역, 배열 조건, 조합과 방정식의 연결을 다루므로 계산 결과에 이르는 근거를 짧게 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 초반 고난도에 주의

쉬움으로 분류된 2·5·10·11·15번은 합성함수 대입, 유리함수의 기본 성질, 약수의 개수, 판별식, 여사건을 확인합니다. 풀이의 출발점을 빨리 잡을 수 있는 문항들이지만 합성 순서나 중근 포함 여부까지 확인해야 안정적으로 마무리할 수 있습니다.

보통 문항은 개념을 적용할 방향을 정한 뒤 조건을 검산하는 과정이 필요합니다. 6번에서 증감 방향에 맞는 끝점을 택하는 일, 13번에서 누적 순서를 갱신하는 일, 20번에서 묶음의 위치를 제한하는 일이 대표적입니다. 단순히 공식을 많이 외우는 것만으로는 실수를 줄이기 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움은 3·8·18번입니다. 3번은 역함수와 조각함수, 8번은 그래프와 접하는 경계, 18번은 도형의 넓이와 함수의 최솟값을 연결합니다. 초반에 막히더라도 뒤의 기본 문항까지 어렵다고 판단하지 말고, 풀이가 가능한 문항을 먼저 확보하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 조건 해석

순열조합은 10번과 12~17번, 서술·단답형 20·21번에 배치돼 있습니다. 등록 분류상 이 단원에는 약수의 개수도 포함됩니다. 소인수분해, 합의 법칙, 순열과 조합, 여사건을 문제의 표현에 맞게 골라 쓰는 폭넓은 준비가 필요합니다.

무리함수는 출제량뿐 아니라 3·8번의 조건 해석에 주목해야 합니다. 7번은 합성한 함수의 역함수를 순서를 바꾸어 처리하고, 19번은 교점 사이의 길이를 매개변수의 함수로 나타냅니다. 근호 계산만 반복하기보다 정의역, 치역, 교점의 의미를 함께 설명하는 연습이 효과적입니다.

유리함수에서는 5번의 그래프 성질이 6번의 제한된 구간에서의 최댓값과 18번의 최소 넓이로 확장됩니다. 함수와 합성함수와역함수 문항은 대응 관계와 입력값의 흐름을 점검하는 바탕이며, 이차방정식의 판별식은 11번뿐 아니라 교점 수를 해석할 때에도 활용됩니다.

문항별 정리

아래 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 문항마다 묻는 개념과 풀이의 출발점, 확인할 조건을 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 계산 전에 가능한 범위를 정해야 한다는 것입니다. 치역의 연결, 그래프의 경계, 점이 놓이는 영역을 먼저 확인하면 사용할 식과 도구가 정해집니다. 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 자료의 자동 분류와 풀이 구조를 바탕으로 선정한 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 기본 대입과 성질 확인이 가능한 문항을 먼저 마무리하세요. 3번에서 조각별 치역을 정리하지 못하거나 8번에서 교점 변화의 그림이 잡히지 않으면 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 뒤쪽 10·11·15번에도 자동 분류 기준 쉬움 문항이 있으므로 초반의 막힘에 전체 시간을 쓰지 않도록 하세요.

서술·단답형 18~21번에 들어가기 전에 전체 문항의 진행 상태를 확인하세요. 18번은 높이를 최소화하는 식을 세우는 데 시간이 필요하고, 19번은 함수식 외에 정의역과 치역을 따로 써야 합니다. 20·21번도 계산 근거를 정리할 시간을 남기되, 어려운 문항 하나가 끝나야 다음 문항을 볼 수 있다는 방식으로 운영하지 마세요.

마지막 검토는 조건에 집중하세요. 6번은 구한 매개변수가 가정한 증감 방향에 맞는지, 8번은 경계와 접점을 포함하는지, 12번은 자연수의 최소 범위를 지켰는지 확인합니다. 19번의 서로 다른 교점 조건, 20번의 양 끝 조건, 21번의 조합 기호가 정의되는 범위도 계산 뒤에 다시 대조해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 입력과 대응부터 정리하세요. 일대일함수와 일반 함수의 개수 차이, 합성 순서와 역함수의 적용 방향을 말로 설명한 뒤 계산하세요(1·2·4·7·9번 대비).
2. 유리함수는 표준형으로 바꾸고 점근선과 증감 방향을 함께 표시하세요. 매개변수의 부호에 따라 최댓값이 생기는 끝점이 바뀌는 이유를 확인하세요(5·6번 대비).
3. 조각함수는 구간별 정의역·치역 표를 먼저 만드세요. 절댓값을 나눈 그래프에 직선을 움직여 보고 경계점 통과와 접하는 순간을 따로 기록하세요(3·8번 대비).
4. 경우의 수는 세는 대상부터 적으세요. 자연수 해는 범위를 나누고, 사전식 배열은 앞자리를 고정하며, 적어도 조건과 도형 제외 조건은 전체에서 빼는 방법을 비교하세요(10·12·13·15·16·17번 대비).
5. 조건이 겹친 배열과 조합 기호를 반복하세요. 묶음의 자리와 내부 순서를 따로 세고, 조합식을 전개하기 전에 정의 조건과 항등식 활용 여부를 확인하세요(14·20·21번 대비).
6. 거리와 교점 문제를 서술해 보세요. 고정된 밑변의 높이 최소화, 근과 계수의 관계로 교점 간 거리를 나타내는 과정을 정리하고 등호 조건과 정의역·치역까지 써 보세요(11·18·19번 대비).