영동고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

영동고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 집합과 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열조합, 절대부등식입니다. 함수의 기본 계산부터 그래프 해석과 조건부 개수 세기까지 함께 준비해야 합니다.

계산 절차가 바로 보이는 문항과 풀이 틀을 먼저 정해야 하는 문항이 섞여 있습니다. 합성함수 대입은 안쪽부터 차례로 처리하면 되지만, 역함수의 존재나 반복 합성은 전체 구간의 대응을 보아야 합니다. 식을 길게 전개하기 전에 어떤 조건이 풀이를 제한하는지 표시하는 습관이 필요합니다.

서술·단답형은 20번 쉬움, 21번 보통, 22번 어려움으로 분류됩니다. 뒤에 있다는 이유로 모두 미루기보다 기본 합성함수와 무리함수 조건 문항을 먼저 확보할 수 있습니다. 23번은 자료상 객관식이므로 번호 순서와 답안 형식을 구분해 확인하세요.

난이도 분포 — 초반 고비와 후반 조건 해석

난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 1~5번에서는 약수 개수, 합성함수 대입, 무리함수 이동, 순열·조합 기호를 안정적으로 처리하는 것이 우선입니다. 이 구간에서도 대입할 식의 구간이나 자연수 조건을 놓치면 불필요한 재계산이 생깁니다.

6번과 8번부터 어려움 문항이 등장하므로 번호가 앞이라고 오래 붙잡을 필요는 없습니다. 7·9·10·13·15번은 보통으로 분류되어 있어, 막힌 문항을 표시하고 이 문항들로 이동하는 운영이 가능합니다.

후반 16~19번은 모두 어려움입니다. 일대일성, 합성의 정의 조건, 배열의 짝짓기, 함수 종류 판별처럼 출발점이 서로 다릅니다. 앞 문항의 계산 방식을 그대로 적용하기보다 매번 조건을 다시 구조화해야 합니다.

출제 단원 — 순열조합과 합성함수·역함수가 중심

가장 많은 순열조합은 약수 개수부터 간격을 둔 배열, 색칠하기, 조건부 짝짓기, 자연수 순서쌍까지 형태가 다양합니다. 같은 공식을 반복하는 공부보다 대상을 먼저 정하고 남은 선택을 세는 연습이 효과적입니다. 특히 8·11·18·22번은 조건에 따라 선택 가능성이 달라지는 이유를 설명할 수 있어야 합니다.

합성함수와역함수는 기초 대입과 치환에 더해 역함수 존재, 반복 합성으로 확장됩니다. 유리함수와 무리함수에서도 역함수·정의역 개념이 연결되므로 단원별 공식을 따로 암기하는 데서 끝내지 마세요. 그래프의 가능한 입력과 출력을 표시한 뒤 조건식을 세우면 범위를 벗어난 후보를 줄일 수 있습니다.

함수 단원의 14·19번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 문항 수만 보고 가볍게 다루기보다 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수의 차이를 분명히 정리해야 합니다. 6번은 절대부등식으로 분류되지만 거리와 유리함수 상황을 산술·기하평균으로 정리하는 연결 문항입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 단원 비중은 이동

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 14문항에서 11문항으로 줄고 쉬움과 보통은 각각 5문항에서 6문항으로 늘었습니다. 다만 올해도 후반에 어려움이 이어지므로 문항 수 감소만으로 체감 부담을 단정하기는 어렵습니다.

순열조합은 7문항에서 6문항, 유리함수는 5문항에서 4문항, 함수는 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 합성함수와역함수는 4문항에서 5문항, 무리함수는 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 함수 기본 개념을 합성·역함수와 그래프에 적용하는 공부를 이어가세요.

작년 어려움은 10번부터 나타나며 서술·단답형 22~24번도 모두 포함됐습니다. 올해는 6번부터 등장하지만 서술·단답형 20·21번은 쉬움과 보통입니다. 따라서 어려운 초반 문항에 멈추지 않고 뒤의 접근 가능한 문항을 확인하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 입력과 출력의 범위를 추적해야 한다는 공통점이 있습니다. 자동 분류 기준 어려움 가운데 개념 연결 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 난도 순위가 확인된 것은 아닙니다. 계산을 시작하기 전 정의역, 치역, 구간 경계를 별도로 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 계산을 안정적으로 끝내고, 6·8번에서 접근이 보이지 않으면 표시하고 이동하세요. 중간의 보통 문항과 20·21번을 확인한 뒤 남은 시간을 조건 해석에 배분하는 방식으로 연습할 수 있습니다. 실제 시험 시간 정보는 없으므로 고정된 분 단위보다 자신의 풀이 기록을 기준으로 계획을 조정하세요.

경우의 수에서는 무엇을 먼저 고정했는지 적어 두세요. 8번은 위치와 나머지 배열, 11번은 색의 같고 다름, 18번은 짝짓기와 배치, 22번은 기준 변수별 선택을 분리해야 합니다. 마지막에 곱하는 요소가 이미 앞 단계에 포함되어 있지 않은지 확인하면 중복 계산을 줄일 수 있습니다.

함수에서는 2번의 구간 선택, 12·21번의 근호 안 조건, 16번의 전체 일대일성, 17번의 분모와 해의 부호, 23번의 경계를 검산 목록으로 삼으세요. 서술·단답형을 풀 때도 조건을 짧게 남기면 다시 검토하기 쉽습니다. 특히 무리식을 제곱해 얻은 후보는 원래 조건에 대입해 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 합성 대입과 치환을 정리하세요. 안쪽부터 계산하는 순서와 구간 선택을 함께 연습합니다(2·5·20번 대비).
2. 유리함수 기본형과 무리함수 정의역을 복습하세요. 점근선, 증가·감소, 역함수의 정의역을 간단한 그림으로 확인합니다(3·9·10·12·13·21번 대비).
3. 경우의 수는 기준을 고정한 표를 만드는 연습을 하세요. 간격, 색 관계, 짝짓기, 자연수 범위를 나누어 선택 단계를 설명합니다(7·8·11·18·22번 대비).
4. 일대일함수와 상수함수의 성질을 조건에 적용하세요. 구간별 성질과 전체 대응을 구분하고 공역에 없는 출력이 생기는지 확인합니다(14·16·19번 대비).
5. 부호별 경우 나누기와 후보 검증을 묶어 연습하세요. 산술·기하평균 적용 범위, 절댓값 해제, 분모 제한을 풀이에 남깁니다(6·15·17번 대비).
6. 반복 합성은 구간 이동을 그려 보고, 마지막에는 이 시험을 다시 풀며 멈춘 문항과 검산 시간을 기록하세요. 경계 교점의 중복 여부도 별도로 확인합니다(23번 및 16·17번 대비).