가락고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

가락고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

가락고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 출제 범위는 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 식과 그래프를 연결하고 배열·선택·도형의 개수를 세는 시험입니다.

함수에서는 역함수의 함숫값, 합성 결과, 점근선과 대칭점, 무리함수의 정의역과 치역을 다룹니다. 같은 역함수 개념도 단순 계산에서 구간별 함수의 해석이나 역함수의 존재 조건으로 확장됩니다. 식을 전개하기 전에 입력과 출력의 관계를 파악해야 합니다.

순열조합에서는 공식 계산뿐 아니라 조건에 따라 대상을 나누는 능력이 필요합니다. 정수 조건, 자리 조건, 부전승, 한 직선 위의 점처럼 무엇을 같은 경우로 볼지가 달라집니다. 기본 계산을 안정적으로 처리하면서 복합 조건을 표나 그림으로 정리하는 시험 대비가 적합합니다.

난이도 분포 — 초반부터 분산된 어려움과 서술형의 부담

쉬움으로 분류된 6번은 무리함수 그래프의 성질, 12번은 이웃하는 배열과 끝자리 조건, 14번은 순열·조합 기호의 계산입니다. 모두 기본 개념을 확인할 수 있는 문항이지만 근호 밖 부호나 묶음 내부의 순서를 놓치면 실수가 생깁니다. 쉬움 구간을 정확히 확보하는 것이 풀이 시간의 여유로 이어집니다.

보통 문항에는 7번의 직선과 무리함수의 교점, 8번의 그래프 정보 연결, 16번의 조합 항등식 과정 해석이 포함됩니다. 공식만 기억하기보다 그 공식이 적용되는 조건을 설명할 수 있어야 합니다. 특히 교점 문제는 제곱 후 얻은 방정식의 근이 원래 식도 만족하는지 살펴야 합니다.

어려움은 객관식 전 구간에 흩어져 있고 서술·단답형에서도 이어집니다. 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감 난도와 동일하다고 단정할 수는 없습니다. 다만 앞 문항에서 막혀도 뒤의 기본형을 확인하고, 서술형의 접근 가능한 부분을 미리 살펴보는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 무리함수의 다양한 연결

순열조합은 가장 많은 단원이면서 기본형과 조건 해석형이 함께 출제되었습니다. 11번은 약수 조건으로 정수의 범위를 줄이고, 13번은 나머지와 자리 조건을 함께 다룹니다. 17번은 대진표의 대칭, 21번은 일직선 위의 점 때문에 생기는 중복과 제외를 검토해야 하므로 같은 공식으로 일괄 처리하기 어렵습니다.

무리함수는 그래프의 성질에서 직선과의 교점, 역함수, 최대·최소, 도형으로 연결됩니다. 6번에서 정의역·치역과 그래프 방향을 익힌 뒤 7·10번에서 조건을 붙이고, 20번에서 좌표와 길이 관계로 확장하는 흐름으로 복습하세요. 근호 안과 밖의 부호를 따로 읽는 습관이 공통 기반입니다.

유리함수와 합성함수와역함수는 문항 수만 보고 학습 비중을 줄이기 어렵습니다. 5번은 자기 자신이 역함수라는 조건과 고정점을 연결하고, 18번은 역함수 존재 조건을 최솟값 문제로 바꿉니다. 계산 공식과 함께 함수가 일대일이 되는 범위, 분모가 허용하는 입력을 점검하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 구성은 같고 무리함수 비중은 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항과 서술·단답형 구성도 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 11문항에서 10문항으로 줄고 쉬움은 1문항에서 3문항으로 늘었습니다. 다만 개수의 변화만으로 시험 전체의 체감 부담이 줄었다고 단정하기는 어렵습니다.

순열조합은 두 해 모두 8문항으로 가장 많고 유리함수도 4문항으로 같습니다. 무리함수는 2문항에서 6문항으로 늘고 합성함수와역함수는 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 무리함수의 다양한 연결을 우선 보완하세요.

작년 서술·단답형에서는 20번이 보통이었으나 올해는 18~21번이 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 객관식에서도 올해 2·5번부터 어려움이 나타납니다. 다음 시험을 준비할 때는 순열조합의 학습량을 확보하면서 함수 단원별 서술형을 고르게 연습하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

조건을 연결하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 순위는 아닙니다. 그림에 제한 조건을 표시하고 무엇을 세거나 어떤 길이를 구하는지 적은 뒤 계산하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 2·5번에서 해석이 길어지면 표시하고 뒤의 기본형을 확인하는 편이 좋습니다. 6·12·14번처럼 자동 분류 기준 쉬움인 문항에서도 조건을 짧게 기록해 검산 부담을 줄이세요. 정해진 시간 안에 전체를 훑는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 끝까지 미뤄 두지 말고 출발 조건을 미리 살펴보세요. 18번은 일대일 조건, 19번은 점근선과 대칭점, 20번은 좌표와 높이, 21번은 일직선상의 점을 먼저 적을 수 있습니다. 연습에서는 식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 구별해 어느 단계가 느린지 확인하세요.

마지막 검토는 조건 누락을 중심으로 하세요. 2·7번은 제곱 전의 부호와 경계, 4·5번은 분모가 허용하는 입력, 13번은 영의 자리 제한을 확인하세요. 17·21번은 중복을 조정한 이유를 다시 읽고, 19번은 축 위의 점을 사분면 안에 포함하지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성과 역함수의 입력·출력 관계를 복습하세요. 구간별 함수는 각 구간의 출력 범위를 먼저 적고 역함수 존재 조건까지 연결하세요(1·2·18번 대비).
2. 유리함수를 점근선이 보이는 형태로 정리하세요. 평행이동, 반복 합성, 고정점과 대칭점의 조건을 구별해 연습하세요(3·4·5·19번 대비).
3. 무리함수의 정의역·치역과 증가·감소를 그래프로 확인하세요. 제곱 전 부호 조건과 교점 경계까지 기록하는 풀이를 익히세요(6·7·8·9·10번 대비).
4. 순열과 조합의 기호, 묶음 배열, 조건부 선택을 정리하세요. 선택과 배열을 구별하고 서로 겹치지 않는 경우로 분류해 보세요(12·14·15·16번 대비).
5. 정수 조건과 자연수 구성 문제는 약수·나머지·자리 조건의 순서로 정리하세요. 가능한 범위와 영의 허용 여부를 계산 전에 표시하세요(11·13번 대비).
6. 대진표와 점 배치에서는 같은 경우의 기준을 설명하는 연습을 하세요. 좌표 도형은 함수 관계를 길이와 높이로 옮긴 뒤 계산하세요(17·20·21번 대비).