가락고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

가락고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

가락고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 대응 관계와 그래프 해석을 확인한 뒤 배열과 선택의 경우를 세는 구성입니다.

함수 문항은 식을 대입하는 것에서 끝나지 않습니다. 제한된 정의역에서 역함수의 교점을 판단하거나, 반복 합성에서 대응의 순환을 찾아야 합니다. 같은 역함수 유형이라도 그래프의 대칭성, 입력과 출력의 교환, 합성의 역순을 구분해야 접근이 빨라집니다.

경우의 수에서는 공식을 고르기 전에 무엇을 같은 경우로 보는지 정해야 합니다. 사람을 배열하는 문제와 부분집합을 고르는 문제의 순서 조건이 다르며, 직선이나 삼각형을 만들 때는 선택한 점들이 실제로 서로 다른 도형을 만드는지도 확인해야 합니다.

난이도 분포 — 초반부터 필요한 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 유리함수의 그래프 성질을 확인하는 6번입니다. 보통 문항은 함수의 대입과 그래프 기본 성질, 대표적인 배열과 선택 유형에 분포합니다. 5번의 구간별 함수나 16번의 도형 개수처럼 보통으로 분류된 문항도 조건을 생략하면 실수할 수 있습니다.

2·3·4번은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 역함수의 교점, 일대일대응의 순환, 합성 관계에서 계수를 정하는 과정이 초반부터 이어집니다. 이 구간에서 풀이가 멈추면 뒤의 유리함수 기본형을 먼저 확인하는 운영이 필요합니다.

서술·단답형은 18·19·21번이 어려움, 20번이 보통입니다. 번호가 늦다는 이유로 모두 미루기보다는 조건을 바로 정리할 수 있는 문항을 찾아야 합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 학생들의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 연결

순열조합은 12~17번과 20·21번에 배치되어 있습니다. 숫자 배열, 이웃하는 조건, 도형 개수, 순열과 조합 기호의 관계, 부분집합 선택까지 폭넓게 다룹니다. 13번은 약수 개수에 앞서 식의 구조를 정리해야 하므로 단원 이름만 보고 배열 공식부터 적용하지 마세요.

합성함수와역함수는 1·2·4·5·10번입니다. 합성 순서와 역대응을 정확히 읽는 능력이 바탕이며, 2번에서는 그래프와 근의 위치 조건까지 이어집니다. 일반 함수로 분류된 3·18번도 대응의 순환과 합성함수의 성질을 다루므로 함께 복습하면 좋습니다.

유리함수는 6·7·8번의 점근선과 그래프 해석에서 19번의 반복 합성으로 확장됩니다. 무리함수는 9번에서 정의역과 치역을 연결하고 11번에서 직선과의 교점을 판단합니다. 그래프의 끝점, 제외되는 입력, 제곱 전의 부호를 따로 표시하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성은 같고 어려움 분포는 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 객관식과 서술·단답형의 번호 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 3문항에서 올해 11문항으로 늘었습니다. 작년에는 3·8·18번이 어려움이었으나 올해는 초반 2·3·4번에 이어 중반과 후반에도 분포합니다. 기본형을 해결한 뒤 남은 어려운 문제를 푸는 방식만으로는 시간 운영이 까다로울 수 있습니다.

순열조합은 작년 9문항, 올해 8문항으로 두 해 모두 가장 많습니다. 합성함수와역함수는 작년 2문항에서 올해 5문항으로 늘었고, 유리함수도 작년 3문항에서 올해 4문항으로 늘었습니다. 무리함수는 작년 4문항에서 올해 2문항으로 줄었습니다. 올해 자료에 맞춘 대비에서는 배열과 선택의 기본기를 유지하면서 합성과 역함수의 조건 해석을 보강하는 것이 좋습니다.

서술·단답형의 어려움도 작년 18번에서 올해 18·19·21번으로 넓어졌습니다. 다음 시험을 준비할 때는 답을 얻는 연습과 함께 대응을 제한하는 이유, 반복되는 이유, 제외하는 경우의 의미를 짧게 설명하는 연습을 하세요. 이 비교는 문항 분류의 변화이며 실제 응시 성적의 변화를 뜻하지는 않습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 중 조건을 해석하는 단계가 두드러지는 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확정한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 결과를 얻기 전부터 허용되는 입력과 대응의 범위를 표시해야 풀이의 방향이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 2~4번에 오래 머물지 않도록 하세요. 필요한 관계식이나 순환이 보이지 않으면 표시한 뒤 5~9번의 기본 구조를 확인하는 편이 좋습니다. 어려운 문항을 나중에 다시 볼 때 사용할 수 있도록, 막힌 이유를 정의역·합성 순서·경우 분류처럼 짧게 적어 두세요.

서술·단답형을 시작할 시간도 남겨 두세요. 19번은 몇 차례의 대입으로 반복을 관찰하고 그 주기가 유지되는 이유를 적는 방식으로 접근할 수 있습니다. 20번은 소문항마다 묶음 처리와 양 끝자리 고정 중 어느 방법을 쓸지 먼저 정하세요. 연습 때 계산보다 분류 기준을 정하는 데 시간이 많이 드는지 확인하면 보완할 부분이 드러납니다.

검토에서는 답을 처음부터 다시 계산하기보다 조건 누락을 찾으세요. 1번은 합성식의 바깥 함수를 지울 수 있는 근거, 5번은 역대응에 맞는 구간, 11번은 제곱 전의 부호가 중요합니다. 12번은 첫 자리에 올 수 없는 숫자, 15번은 이웃 조건의 중복, 21번은 공집합인 교집합을 정확히 제외했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 입력과 출력을 화살표로 표시하고 역대응과 합성 순서를 읽으세요. 일대일 조건 없이 바깥 함수를 소거하지 않는 습관부터 들이세요(1·4·5·10번 대비).
2. 그래프 문제는 정의역과 끝점을 먼저 표시하세요. 증가성, 근의 위치, 접점, 제곱 전 부호를 차례로 확인하는 연습을 하세요(2·6·7·8·9·11번 대비).
3. 반복 합성은 처음의 대응을 추적한 뒤 주기를 찾으세요. 유한집합의 순환과 유리함수의 반복을 비교하고 합성 횟수가 남기는 위치를 설명해 보세요(3·19번 대비).
4. 배열에서는 자리를 먼저 정할지 사람을 먼저 고를지 결정하세요. 빈틈 배치, 묶음 처리, 여사건을 각각 적용하고 중복 계산이 없는지 확인하세요(12·14·15·20번 대비).
5. 소인수분해와 조합 기호의 기본 관계를 복습하세요. 수의 구조를 정리한 뒤 약수 개수를 세고, 근과 계수의 관계에서 얻은 식을 순열·조합 관계로 연결하세요(13·17번 대비).
6. 함수와 집합의 개수는 전체 선택에서 추가 조건을 반영하는 순서로 정리하세요. 직선 위에 놓인 점들의 중복, 치역 밖의 자유로운 대응, 서로 겹치지 않는 부분집합을 따로 살펴보세요(16·18·21번 대비).