동덕여자고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

동덕여자고 1학년 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

동덕여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 순열조합, 무리함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 원의방정식입니다. 함수의 정의역·치역과 그래프 성질을 읽는 능력, 조건을 분류해 경우를 세는 능력을 함께 확인합니다.

순열조합은 묶어서 나열하기와 조합의 기호에서 출발해 사전식 배열, 구별하지 않는 묶음의 분할, 이웃 조건을 결합하는 문제로 이어집니다. 같은 단원에서도 순서를 따질 대상과 구별하지 않을 대상을 먼저 정해야 합니다. 공식을 기억하는 것만으로는 중복 계산을 피하기 어렵습니다.

함수는 기본적인 역함수 계산뿐 아니라 제한된 정의역에서의 교점, 유한집합의 일대일대응, 합성 순서의 관계까지 다룹니다. 앞부분의 기본형을 정확히 처리하고 후반에서 조건을 논리적으로 연결하는 연습이 필요합니다. 서술·단답형도 난도 차이가 있으므로 형식만 보고 풀이 순서를 정하지 마세요.

난이도 분포 — 기본형 뒤에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~7번과 18·19번입니다. 무리함수의 정의역과 역함수, 유리함수의 평행이동, 순열과 조합의 기본 원리를 확인합니다. 18·19번도 접근이 비교적 직접적이므로 객관식 후반에 막혔을 때 먼저 살펴볼 수 있습니다.

자동 분류 기준 보통 문항은 8~14번, 16번, 20번에 놓여 있습니다. 정수점 세기, 일대일대응의 값 결정, 조건부 선택과 분할처럼 분류 기준을 잡는 단계가 필요합니다. 식을 세우기 전 무엇을 고정하고 무엇을 변화시킬지 짧게 적으면 시행착오를 줄일 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 15·17·21·22·23번입니다. 15번의 구간별 교점, 17번의 복합 이웃 조건, 21~23번의 함수 조건 연결이 주요 부담입니다. 이 분포는 자동 분류 결과이므로 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 근거로 사용할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 후반부의 조건

순열조합은 5~7번, 11~14번, 17번, 19·20번으로 기본형과 응용형에 넓게 분포합니다. 이웃 조건, 기호의 정의, 숫자 배열, 분할을 묶어 복습하세요. 특히 14번은 접시를 구별하지 않는 조건, 17번은 일부만 이어지는 조건 때문에 단순한 순열 계산과 구분해야 합니다.

무리함수에서는 정의역·치역, 역함수, 최대·최소에 이어 정수점과 직선의 교점을 다룹니다. 15번은 구간마다 가능한 교점을 구분하고, 22번은 교점 사이의 거리를 치환한 근의 관계로 정리합니다. 그래프의 모양과 치환 변수의 범위를 함께 표시하는 습관이 유용합니다.

합성함수와역함수는 4·9·21·23번입니다. 역함숫값을 원래 함수의 입력으로 바꾸는 기본에서 시작해 교점과 합성 관계로 확장됩니다. 유리함수의 대칭성과 원과 직선의 위치 관계도 별도로 복습해야 하며, 단원별 문항 수만으로 학습 우선순위를 끝내지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합 중심은 유지되고 함수 구성이 변화

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 22문항에서 23문항으로 늘었으며, 서술·단답형은 6문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움과 보통은 각각 9문항으로 같고 어려움은 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 이 변화는 문항 구성의 비교이며 실제 성적의 변화를 뜻하지는 않습니다.

순열조합은 두 해 모두 10문항으로 가장 많습니다. 유리함수는 6문항에서 2문항으로 줄고, 무리함수는 4문항에서 6문항, 합성함수와역함수는 2문항에서 4문항으로 늘었습니다. 올해 자료에는 원의방정식 1문항도 있습니다. 순열조합을 중심으로 복습하되 함수 유형의 대비 폭을 넓히는 편이 좋습니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 15·16·20·22번, 올해는 15·17·21·22·23번입니다. 후반에 어려운 문항이 놓인 흐름은 이어지지만 올해는 서술·단답형 마지막 구간에 연속됩니다. 다음 대비에서는 함수의 교점과 합성 조건을 설명하는 연습을 충분히 하고, 초반 서술·단답형부터 확보하는 풀이 순서도 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 변형한 뒤에도 원래 조건이 남는다는 점입니다. 풀이 첫 줄에 범위와 대응 조건을 쓰고 마지막 줄에서 다시 대조하는 습관이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 접근이 보이는 문항을 확보하세요. 15번에서 구간 분류가 길어지면 표시하고 16번이나 18·19번을 확인할 수 있습니다. 객관식부터 끝까지 완주한 뒤 서술·단답형으로 넘어가기보다 전체를 훑어 풀이 가능한 문제를 찾는 방식으로 연습하세요.

경우의 수에서는 계산하기 전에 분류의 기준을 적으세요. 11번은 비밀번호의 자리 조건, 14번은 접시를 구별하지 않는 조건, 17번은 일부만 이어져야 하는 조건이 중요합니다. 각 경우가 서로 겹치지 않는지와 모든 가능성을 포함하는지를 확인한 다음 합하거나 곱해야 합니다.

마지막 검토에서는 8번의 영역 경계, 16번의 접함 제외, 20번의 수 범위 경계를 먼저 확인하세요. 함수에서는 2번의 역함수 정의역과 15·21·22번의 근의 허용 범위를 다시 보세요. 서술 과정에는 계산 결과만 남기지 말고 후보가 원래 조건을 만족하는 이유도 짧게 적으세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의역·치역과 증가·감소부터 복습하세요. 그래프의 시작점과 구간 끝점을 표시한 뒤 역함수의 정의역까지 연결하세요(1·2·18번 대비).
2. 순열과 조합의 기본 원리를 정리하세요. 묶음 안팎의 배열, 경계선 선택, 기호의 정의 범위를 말로 설명하세요(5·6·7·19번 대비).
3. 자리별 분류와 여사건을 연습하세요. 사전식 순서와 숫자 범위 문제에서 앞자리를 고정하고 남은 선택지를 기록하세요(11·12·20번 대비).
4. 조건을 결합하는 경우의 수로 확장하세요. 홀짝과 배수, 구별하지 않는 분할, 이웃 조건을 각각 분류표로 정리하세요(13·14·17번 대비).
5. 유리함수의 대칭 중심과 유한집합의 일대일대응을 복습하세요. 역함숫값을 원래 함수의 입력 조건으로 바꾸어 보세요(3·4·9·10번 대비).
6. 교점과 거리 조건을 연습하세요. 영역의 경계와 접함을 구별한 뒤 치환 변수의 범위와 근의 위치를 검사하세요(8·15·16·21·22번 대비).
7. 합성 관계를 대응 그림으로 옮겨 보세요. 고정되는 원소와 순환하는 원소를 구분하고 일부 함수값이 나머지를 결정하는 과정을 설명하세요(23번 대비).