분당고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

분당고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

분당고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 유리함수, 합성함수와역함수, 무리함수, 함수입니다. 경우의 수 계산과 여러 함수의 성질을 함께 준비해야 하는 범위입니다.

앞부분에서는 조합과 순열의 구별, 유리함수의 기본 성질, 역함수의 함숫값, 무리함수의 끝점과 최댓값·최솟값을 확인합니다. 기본 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 각 공식이 적용되는 조건을 설명할 수 있어야 안정적으로 풀 수 있습니다.

후반에서는 조건을 다른 형태로 옮기는 능력이 중요해집니다. 항상 성립하는 부등식을 최댓값·최솟값으로 바꾸거나, 합성함수 조건을 원소 사이의 대응으로 정리하는 식입니다. 서술·단답형에서도 경우를 나눈 근거와 후보를 제외한 이유를 함께 적는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형 뒤에 섞여 나오는 복합 조건

쉬움 문항은 초반에 주로 배치되어 있습니다. 다만 7번은 보통으로 분류되고 8·9번에서 다시 쉬움으로 돌아옵니다. 조를 나누는 7번에서 중복 처리에 시간이 걸리면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하는 방식이 좋습니다. 번호가 커질수록 난도가 일정하게 올라가는 구성은 아닙니다.

11번부터는 어려움과 보통이 섞여 있습니다. 11번의 부등식 해석, 13번의 대응 추론, 14번의 나머지별 경우 분류, 16번의 교점 좌표 비교는 출발 전략을 정하는 데 시간이 필요합니다. 반면 12·15번은 점근선이나 이웃하는 배열의 대표 풀이를 떠올리면 접근 방향을 잡을 수 있습니다.

서술·단답형에서는 17·18번이 보통, 19·20번이 어려움입니다. 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 이 분포를 활용해 연습할 때는 어려움 문항에 들어가기 전에 기본형과 보통 문항의 조건 누락을 줄이고, 마지막 문항까지 살펴볼 시간을 확보하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 조건 해석

순열조합은 단순 선발과 배열에서 시작해 조 분할, 합의 법칙, 나머지 조건, 이웃하는 배열, 자연수 만들기로 확장됩니다. 가장 많은 단원이지만 모든 문항을 같은 공식으로 풀 수는 없습니다. 순서를 구별하는지, 경우가 겹치는지, 같은 크기의 조에 이름이 있는지를 먼저 판단하세요.

유리함수는 기본 성질을 묻는 2번에서 항상 성립하는 부등식의 11번과 직선과의 교점을 다루는 16번까지 이어집니다. 무리함수도 5·6번의 끝점과 단조성에서 10번의 그래프 성질, 20번의 역함수 비교로 확장됩니다. 기본 그래프에 정의역·치역을 함께 표시하는 연습이 후반 문제의 바탕입니다.

합성함수와역함수는 3·8번의 함숫값 해석, 13번의 유한집합 대응, 17번의 역함수 존재 조건을 다룹니다. 함수로 분류된 19번도 합성 조건과 경우의 수를 연결합니다. 단원명만 보고 학습을 나누기보다 대응표 작성과 조건에 따른 분류를 함께 연습하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 변환과 검토 단계가 이어진다는 점에서 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 출발 조건을 적고, 변환 뒤 가능한 범위를 유지하며, 마지막에 원래 조건으로 돌아오는 과정이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확하게 처리하고, 11·13·14·16번은 접근 방향이 잡히는지 확인하세요. 한 문항의 경우 분류가 길어지면 현재까지 확정한 조건만 기록하고 다음 문항으로 넘어가는 연습이 좋습니다. 서술·단답형의 17·18번도 미리 살펴 끝부분을 통째로 남기지 마세요.

경우의 수에서는 계산 전 분류 기준을 한 줄로 적으세요. 7번은 같은 크기의 조를 바꾸는 중복, 15·18번은 조건이 동시에 성립하는 공통 경우가 핵심입니다. 14번처럼 여러 조건이 있으면 한 조건으로 후보를 제한한 뒤 나머지 조건을 적용해, 세는 대상이 풀이 중 바뀌지 않게 하세요.

함수 문항의 검토 시간은 정의역과 경계 조건에 사용하세요. 11·12번은 분모의 부호와 제외값, 16번은 교점이 속한 사분면, 17번은 기울기의 경계, 20번은 근호와 역함수의 범위가 중요합니다. 연습할 때 계산 시간과 조건 해석 시간을 나누어 기록하면 지연되는 단계를 찾기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 선발과 배열을 구별하고 합의 법칙과 곱의 법칙을 말로 설명하세요. 제약이 있는 자리나 한쪽 선택을 먼저 고정하는 연습을 하세요(1·4·9번 대비).
2. 조 분할과 이웃하는 배열에서 중복을 찾으세요. 같은 조의 순서 교환과 여러 조건의 공통 경우를 따로 표시하세요(7·15·18번 대비).
3. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프에 점근선, 끝점, 정의역·치역을 함께 적으세요. 평행이동과 모양의 변화를 구별하세요(2·5·6·10·12번 대비).
4. 역함숫값은 원래 함수의 대응으로 바꾸고 합성 조건은 대응표로 정리하세요. 일대일대응이 필요한 경우와 일반 함수의 경우를 구별하세요(3·8·13·17·19번 대비).
5. 복합 조건의 경우의 수는 포함 여부나 기준 함숫값으로 분류하세요. 각 경우에서 확정된 선택과 자유로운 선택을 구분한 뒤 계산하세요(14·19번 대비).
6. 구간 전체의 부등식과 그래프 교점 문제를 연습하세요. 치환 구간, 교점의 사분면, 역함수의 범위를 적고 후보를 검토하는 순서를 유지하세요(11·16·20번 대비).