청담고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

청담고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

제공된 자료의 지역 정보는 서울 서초구입니다. 확인되는 출제 범위는 유리함수, 무리함수, 합성함수와역함수, 함수, 순열조합입니다. 함수의 그래프 성질과 역함수의 존재 조건을 확인한 뒤, 순열과 조합의 기본 계산에서 조건부 배열과 분배로 이어집니다.

순열조합에서는 공식을 아는 것만으로 충분하지 않습니다. 같은 물건과 서로 다른 물건, 순서가 있는 선택과 없는 선택을 구별해야 합니다. 이웃 조건을 자리의 구조로 바꾸거나, 함숫값 사이의 관계를 선택 범위로 바꾸는 판단이 계산보다 앞섭니다.

함수에서는 식을 정리한 뒤 그래프의 어느 부분을 쓰는지 확인하는 과정이 중요합니다. 구간별로 정의된 함수의 치역을 연결하고, 교점에 대응하는 해가 실제 정의역에 속하는지 검토해야 합니다. 서술·단답형도 기본 연산과 복합 조건 문항이 섞여 있어 번호 순서만으로 부담을 판단하기 어렵습니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 조건 해석으로 전환

쉬움 문항은 1·3번의 그래프 기본 성질, 8~11번의 순열조합 기본형, 19·21번의 서술·단답형에 있습니다. 초반에서 막힌 문항이 있더라도 이 구간을 확인하세요. 특히 19번의 식 정리와 21번의 도형 개수는 풀이 방향을 빨리 잡을 수 있는지 따로 연습할 만합니다.

보통은 2·4·5·6·17번입니다. 대칭의 중심, 역함수의 존재 조건, 도형의 좌표화처럼 개념을 연결하는 판단이 필요합니다. 자동 분류 기준의 보통이라는 표현을 단순 대입 문제라는 뜻으로 받아들이지 말고, 계산 전에 적용할 조건을 짧게 적어 보세요.

어려움으로 분류된 12~16번은 배열과 짝짓기, 인접 관계, 대응 조건 등 서로 다른 세기 구조를 요구합니다. 20·22·23·24번에서도 함수 조건과 경우 분류가 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도나 문항 간 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 경계 조건

순열조합은 8~18번과 21·24번에 걸쳐 출제되어 전체의 절반을 넘습니다. 기본 기호 계산에서 시작해 자리 배치, 짝짓기, 공의 분배, 같은 수가 있는 배열로 확장됩니다. 유형 이름을 외우기보다 무엇을 먼저 고정하고 나머지를 셀지 설명하는 연습이 효과적입니다.

무리함수는 3·5·7·22·23번입니다. 평행이동과 대칭이동, 도형 조건을 이용한 좌표 설정에서 구간별 함수와 교점 조건으로 이어집니다. 특히 유리함수가 함께 등장하는 문항은 근호의 정의 조건과 분모의 제한을 동시에 적어야 하므로 단원을 따로 떼어 준비하기 어렵습니다.

유리함수의 1·2·4·19번은 표준형 정리와 점근선, 대칭성, 식의 연산을 확인합니다. 6번은 구간별 치역과 역함수의 관계를, 20번은 함수와 일대일대응 조건을 이용한 최댓값·최솟값을 다룹니다. 기본 그래프의 성질을 익힌 뒤 정의역이 제한된 상황으로 확장하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 서술·단답형 확대

작년과 올해의 과목은 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 14문항에서 11문항으로 줄었고 쉬움은 2문항에서 8문항으로 늘었습니다. 다만 서술·단답형은 2문항에서 6문항으로 늘었으므로, 난도 분포의 변화만 보고 풀이를 적는 부담까지 줄었다고 해석할 수는 없습니다.

작년에도 순열조합이 가장 많았으며 올해는 그 비중이 더 커졌습니다. 유리함수는 9문항에서 4문항으로 줄고 무리함수는 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 함수의 기본 성질을 유지하면서 경우의 수의 조건 해석과 무리함수의 정의역·치역을 더 집중해서 연습할 근거가 됩니다.

작년 어려움은 6번부터 나타나 중후반에 넓게 분포했고, 올해는 7번 이후 기본형 구간을 거쳐 12~16번에 이어집니다. 작년 서술·단답형은 21·23번이었으나 올해는 19~24번에 모여 있습니다. 다음 준비에서는 문항을 훑어 풀이 순서를 정하는 연습과 조건을 문장으로 남기는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 경우를 구분하는 기준을 세워야 합니다. 풀이를 마친 뒤에는 같은 대상을 중복해서 세었는지, 가능한 대상을 빠뜨렸는지 반대 방향으로 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 그래프의 기본형과 직접적인 선택 구조가 보이는 문항을 확보하세요. 7번에서 교점 분류가 길어지면 표시하고 8~11번을 확인하는 운영이 가능합니다. 객관식 후반을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하기보다 19·21번처럼 접근 가능한 문항도 일찍 살펴보세요.

경우의 수에서는 같은 대상의 구별 여부를 계산 옆에 적어 두세요. 9번은 같은 상자의 순서를, 13번은 짝들의 나열 순서를, 17번은 카드 선택 순서를 구별해야 합니다. 18번은 공의 구성과 점수를 별도로 기록하고 24번은 행의 구성과 행 안의 배열을 나누면 재계산을 줄일 수 있습니다.

함수 문항의 마지막 검토는 정의역과 경계에 집중하세요. 6·22번에서는 치역이 겹치거나 빠지는 부분을, 7번에서는 방정식의 근이 해당 구간에 속하는지를 확인해야 합니다. 23번은 교점이 없다는 조건을 값의 범위의 바깥으로 해석하는 방향까지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리함수를 평행이동 형태로 정리하고 점근선과 대칭의 중심을 표시하세요. 식의 연산에서는 분모 제한도 함께 기록하세요(1·2·4·19번 대비).
2. 무리함수의 이동과 도형 조건을 좌표로 표현하세요. 제곱 전후의 부호와 점의 위치를 확인하는 습관을 들이세요(3·5번 대비).
3. 구간별 함수의 치역을 수직선으로 나타내세요. 역함수의 존재 조건과 교점 문제에서 경계 포함 여부를 비교하세요(6·7·22·23번 대비).
4. 순열·조합 기호부터 역할이 있는 선택, 같은 대상의 분배까지 복습하세요. 순서를 구별하는 이유를 말로 설명하세요(8·9·10·11·17·21번 대비).
5. 이웃 조건과 짝짓기를 자리 선택 또는 분할로 바꾸어 연습하세요. 같은 구성이 여러 번 세어지는 원인을 표시하세요(12·13·14·15번 대비).
6. 조건이 많은 세기 문제는 기준값이나 구성을 먼저 고정하세요. 함수의 허용 범위, 공의 총량, 행의 합을 확인한 뒤 남은 선택을 계산하세요(16·18·20·24번 대비).