야탑고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

야탑고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

야탑고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 대응 관계와 그래프를 이해하는 능력, 제한 조건에 맞게 경우를 세는 능력을 함께 확인하는 구성입니다.

함수 영역은 단순 대입으로 끝나지 않습니다. 역함수의 정의역, 치역 위에서의 일대일대응, 구간별로 정의된 함수의 합성을 다룹니다. 그래프를 식으로 옮기고, 식에서 나온 후보를 원래 구간에 다시 대조하는 과정이 중요합니다.

경우의 수에서는 상황마다 세는 대상이 달라집니다. 숫자나 문자의 배열, 영역의 색칠, 격자 위 선택, 사람들의 조 편성을 같은 순열 공식으로 처리할 수는 없습니다. 무엇을 먼저 정하고 어떤 경우를 제외할지 짧게 적은 뒤 계산하는 습관이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 분류

쉬움에 해당하는 1·3·6번은 역함수의 성질, 함수의 종류별 개수, 반복 합성의 기본을 확인합니다. 보통 문항에서도 정의역이나 자리 조건을 빠뜨리면 풀이가 어긋날 수 있습니다. 초반 문제는 개념을 정확히 적용해 후반에 사용할 시간을 확보하는 구간으로 활용하세요.

자동 분류 기준 어려움 문항은 7·11번에서 먼저 나타나고 13~19번에 연속되어 있습니다. 번호가 뒤로 갈수록 무조건 더 어렵다고 볼 수는 없지만, 이 구간에서는 대응을 추론하거나 중복을 보정하는 작업이 이어집니다. 한 문항에 오래 머물기보다 풀이의 출발점이 보이는지를 기준으로 순서를 조정하세요.

서술·단답형 가운데 20번은 보통, 18·19·21번은 어려움으로 분류되어 있습니다. 마지막 부분을 한꺼번에 미루면 접근 가능한 반복 합성 문제까지 놓칠 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 자신의 그래프 해석과 경우의 수 숙련도에 맞춰 연습 순서를 정하세요.

출제 단원 — 순열조합과 합성·역함수의 비중

가장 많은 순열조합은 5·7·10·12·14·17·18번입니다. 사전식 배열의 순서를 찾는 문제와 이웃하지 않도록 선택하는 문제는 모두 경우의 수지만 계산의 틀이 다릅니다. 조건을 만족하는 경우를 직접 세기 쉬운지, 전체에서 제외하는 편이 나은지를 먼저 판단해야 합니다.

합성함수와역함수는 1·6번의 기본 적용에서 15·16·19번의 조건 추론과 그래프 해석으로 이어집니다. 함수 단원에서도 11번은 합성 전후의 치역을 비교하고 13번은 일의 자리로 정해지는 대응을 해석합니다. 함수식을 모양만 외우기보다 입력과 출력의 흐름으로 읽어야 합니다.

유리함수와 무리함수는 각각 3문항입니다. 유리함수는 점근선, 역함수, 반복 합성을 연결하고, 무리함수는 정의역과 치역 및 직선과의 교점을 다룹니다. 분모가 사라지는 입력과 근호의 부호 조건을 별도로 기록하면 계산 이후의 검토가 쉬워집니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 계산보다 분류 기준과 마지막 검토가 중요합니다. 후보를 얻을 때마다 어느 구간 또는 어느 선택 유형에서 나온 것인지 표시해 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·3·6번처럼 기본 적용 구조가 보이는 문항을 확보하고, 보통 문항도 함께 확인하세요. 7번에서 색칠 경우 분류가 길어지면 표시해 두고 다음 문제를 살펴보는 편이 좋습니다. 13~19번에 어려움 문항이 이어지므로 앞에서 모든 문제를 완성한 뒤 서술·단답형을 시작하려고 하면 시간 운영이 어려워질 수 있습니다.

서술·단답형은 먼저 풀이의 틀을 짧게 적어 보세요. 18번은 조 편성과 영화 선택의 구분, 19번은 안쪽 함수의 출력에 따른 구간 분할, 20번은 반복 합성의 주기, 21번은 절댓값에 따른 그래프 분할이 출발점입니다. 연습에서는 계산 시간과 분류 기준을 찾는 시간을 나누어 기록하면 보완할 부분을 찾기 쉽습니다.

마지막 검토는 조건을 중심으로 진행하세요. 2·8번은 역함수의 정의역과 분모 조건, 5번은 선두 자리 제한, 10번은 배열의 양 끝 포함 여부를 확인해야 합니다. 14·17번은 제외한 경우의 중복을, 16·19·21번은 구간의 경계와 허용 범위를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 종류와 합성 순서를 먼저 복습하세요. 대응 그림과 입력·출력 표로 항등함수, 상수함수, 역함수의 의미를 구별하세요(1·3·6번 대비).
2. 유리함수·무리함수의 정의역과 치역을 식 옆에 적는 연습을 하세요. 역함수를 구한 뒤에는 새 정의역과 점근선을 확인하세요(2·4·8번 대비).
3. 자리 제한이 있는 순열과 사전식 배열을 연습하세요. 고정할 자리, 제외할 배열, 양 끝의 포함 여부를 계산 전에 정하세요(5·10·12번 대비).
4. 치역 위의 대응과 일의 자리 규칙을 표로 표현하세요. 전체 집합의 성질과 제한된 집합에서의 성질을 구분하고, 역함수 조건으로 후보를 좁혀 보세요(11·13·15번 대비).
5. 중복을 보정하는 경우의 수를 집중적으로 다루세요. 색의 일치 여부, 일직선 위 점의 선택, 인접한 선택의 겹침, 조 편성을 서로 다른 분류 기준으로 정리하세요(7·14·17·18번 대비).
6. 그래프의 구간 분할과 치환을 연결하세요. 치환한 변수의 범위를 먼저 쓰고, 원래 입력의 범위와 경계점을 확인하며 반복 합성의 주기도 함께 연습하세요(9·16·19·20·21번 대비).