중산고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

중산고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 정의와 그래프 해석을 바탕으로 조건이 붙은 함수 및 배열의 개수를 다룹니다.

초반에는 같은 함수의 뜻, 합성의 순서, 역함숫값, 유리함수의 대칭점을 확인합니다. 후반에는 정의역을 제한한 일대일함수, 구간별 치역을 맞추는 일대일대응, 그래프 사이의 정수점처럼 여러 조건을 동시에 처리하는 문제가 이어집니다. 공식 암기와 함께 조건을 그림이나 표로 바꾸는 능력이 필요합니다.

경우의 수도 독립된 계산 영역으로만 나오지 않습니다. 함숫값의 대소 관계를 조합으로 바꾸거나 일대일대응을 배열로 바꾸는 연결이 나타납니다. 문제를 읽을 때 무엇을 고르는지, 순서가 있는지, 선택한 결과가 조건을 계속 만족하는지를 구분하는 연습이 중요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

1~5번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 정의역의 각 원소에서 함숫값을 비교하거나 대응을 차례로 따라가는 기본 절차가 중심입니다. 이 구간에서는 어려운 변형을 예상하기보다 합성 순서, 역함수의 입력과 출력, 묶음 내부의 배열 같은 기본 사항을 정확히 처리하세요.

7번에서 어려움이 등장하지만 8·9번은 보통입니다. 앞 문제에서 막혔다고 뒤 문제까지 같은 수준으로 판단하지 않는 것이 좋습니다. 10~16번은 어려움이 이어지며, 넓이를 대칭으로 해석하거나 조건에 따라 경우를 나누는 풀이가 요구됩니다.

서술·단답형에서는 17번이 보통이고 16·18·19번이 어려움입니다. 마지막 20번도 어려움으로 분류된 객관식입니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 다를 수 있지만, 후반부를 위해 조건 정리와 검산 시간을 확보할 필요가 있는 구성입니다.

출제 단원 — 함수의 조건과 순열조합의 연결

함수가 가장 많이 출제되었습니다. 같은 함수의 정의에서 시작해 증가 조건이 있는 함수의 개수, 제한된 정의역에서의 일대일성, 구간별 함수의 일대일대응으로 확장됩니다. 특히 11·15번은 함숫값의 중복만 없애면 끝나는 문제가 아니라 공역과 치역의 관계까지 확인해야 합니다.

순열조합은 이웃하는 배열, 원 위 선분의 교차, 자릿수별 부분집합, 나머지 분류, 이웃하지 않는 배열을 다룹니다. 겉모양은 달라도 먼저 대상을 분류하고 각 경우를 중복 없이 세는 과정이 공통입니다. 함수로 분류된 6·16번도 경우의 수와 연결되므로 두 영역을 함께 복습하세요.

유리함수와 무리함수에서는 식의 변형이 그래프의 위치와 넓이 해석으로 이어집니다. 10번은 대칭인 부분의 넓이를 대응시키고, 13번은 그래프 위 점의 좌표로 도형을 나누며, 19번은 수선의 길이를 거리로 표현합니다. 그래프를 그린 뒤 어떤 길이와 넓이가 필요한지 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 순위는 아닙니다. 공통점은 처음 주어진 조건을 그래프의 구간, 배열의 사건, 입력과 출력의 관계로 다시 표현해야 한다는 데 있습니다. 계산을 시작하기 전 분류 기준을 적는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~5번의 기본형을 정확히 처리하고, 7번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 8·9번을 확인하세요. 10번 이후에는 어려움 문항이 이어지므로 번호 순서대로 끝내려는 방식만 고집하지 않는 것이 좋습니다. 서술·단답형 중 17번도 미리 살펴 접근 가능한 문제를 확보하세요.

함수 문제에서는 계산 전에 정의역, 공역, 치역을 구별해 적어 두세요. 11번의 공역 조건과 15번의 치역 연결은 일대일성만 확인하면 빠지기 쉽습니다. 20번에서는 입력이 집합에 속하는 것과 출력도 같은 집합에 속하는 것을 별개의 검사 항목으로 두면 좋습니다.

마지막 검토에서는 경우를 나눈 기준과 경계를 확인하세요. 7번은 원 내부에서의 교차, 8번은 축 위의 점, 16번은 정확히 하나라는 조건이 중요합니다. 18번은 홀수 자리의 인접 여부를, 19번은 절댓값을 없앨 수 있는 좌표 조건을 다시 확인하며 연습할 때 검토 시간도 따로 기록하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 같은 함수와 합성·역함수의 정의를 복습하세요. 대응을 화살표로 그린 뒤 식으로 옮기는 연습부터 시작하세요(1·2·3·9번 대비).
2. 그래프의 시작점, 점근선, 대칭점과 정의역을 함께 표시하세요. 사분면 조건과 넓이 해석으로 확장하세요(4·8·10·13번 대비).
3. 일대일함수와 일대일대응을 구별하세요. 제한된 구간에서 함숫값의 중복과 공역의 충족 여부를 차례로 확인하세요(11·15번 대비).
4. 선택과 배열의 차이를 정리하세요. 묶기, 끝점 선택, 자릿수 분류, 나머지 분류에서 순서를 추가로 고려해야 하는지 설명하세요(5·6·7·12·17번 대비).
5. 정확히 하나인 조건과 이웃하지 않는 조건을 연습하세요. 중복 사건을 조정하는 풀이와 자리 모양을 먼저 고르는 풀이를 구별하세요(16·18번 대비).
6. 여러 단계의 조건은 중간 결과를 표로 남기세요. 구간별 정수점, 거리로 표현한 넓이, 합성 후 출력의 포함 관계를 점검하세요(14·19·20번 대비).