화홍고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

화홍고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

화홍고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 시험의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 대응과 그래프 성질부터 여러 제약을 만족하는 함수의 개수까지 살펴보는 구성입니다.

초반에는 역함수의 함숫값, 점근선, 그래프의 평행이동, 순열과 조합의 기호처럼 정의를 정확히 적용하는 문항이 나옵니다. 이 부분은 복잡한 계산보다 개념을 구별하는 일이 중요합니다. 이동으로 바뀌는 위치와 그대로 유지되는 그래프의 모양을 나누어 생각하세요.

후반에는 같은 개념을 여러 조건과 연결합니다. 역함수 그래프의 교점, 유리함수 위의 도형, 대진표와 함수의 개수처럼 표현을 바꾸어야 풀이가 짧아집니다. 서술·단답형도 합성의 역순을 설명하는 유형과 조건별 경우를 나누는 유형이 함께 있어 계산과 근거 정리를 모두 연습해야 합니다.

난이도 분포 — 초반 개념 확인에서 후반 조건 연결로

쉬움 문항은 주로 초반에 배치되어 있습니다. 다만 5번은 역함수의 존재 조건과 대칭 성질을 구별하고, 10번은 적어도 조건을 여사건으로 바꾸어야 합니다. 자동 분류 기준 쉬움이라는 이유로 발문을 빠르게 넘기기보다 개념의 적용 조건을 짧게 확인하세요.

보통인 7·9·13·14번은 자리 조건, 사분면, 정수 좌표, 도형의 성립 조건처럼 예외를 처리하는 문항입니다. 기본 공식을 알고 있어도 처음에 조건을 잘못 나누면 계산 전체가 틀어질 수 있습니다. 식이나 조합 기호를 쓰기 전에 제외할 대상을 정리하는 습관이 도움이 됩니다.

어려움은 11·12번에서 등장하고 15~18번에 이어지며 마지막 20번에도 배치됩니다. 반면 19번은 쉬움으로 분류됩니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없지만, 객관식 후반에서 막힐 때 서술·단답형까지 확인하는 운영이 필요하다는 점은 분명합니다.

출제 단원 — 합성함수·역함수와 순열조합의 두 축

합성함수와역함수는 대응을 거꾸로 읽는 기본형에서 그래프의 교점과 반복 합성까지 이어집니다. 특히 11번은 역함수와의 교점에 관한 성질을 적용할 수 있는 조건을 따져야 하고, 12번은 유한집합의 대응을 정리해야 합니다. 공식 암기와 함께 대응표와 그래프를 오가며 설명하는 연습을 권합니다.

순열조합은 기호와 단순 선택에서 출발해 자리 제약, 여사건, 일직선 위의 점, 대진표로 확장됩니다. 유형마다 순서의 의미가 다릅니다. 자연수의 자리에는 순서가 있지만 책의 선택에는 없고, 대진표에서는 같은 대진을 중복해서 세지 않도록 구조를 먼저 읽어야 합니다.

유리함수는 점근선에서 도형의 넓이와 역함수 성질까지 이어집니다. 무리함수도 평행이동과 사분면 판단을 다루므로 그래프의 시작점과 뻗는 방향을 익혀 두세요. 함수 단원인 17·20번은 모두 자동 분류 기준 어려움으로, 문항 수가 적어도 일대일성과 치역 조건을 경우의 수로 옮기는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 기본 성질을 어느 대상에 적용하는지 구별해야 합니다. 풀이 첫 줄에 적용 조건을 쓰고 계산 뒤에는 원래의 대응 관계나 그래프로 돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 개념 문항을 정확히 처리하고, 조건 분류가 길어지는 문제에 표시하세요. 11·12번에서 흐름이 멈추더라도 13·14번과 19번을 확인할 수 있도록 전체를 훑는 연습이 좋습니다. 19번은 서술 과정이 필요하므로 마지막까지 남겨 두기보다 합성 순서가 보일 때 근거를 정리하세요.

그래프 문항은 자세한 그림보다 시작점, 점근선, 뻗는 방향을 먼저 표시하세요. 9번은 정의역 방향, 11번은 제곱 전 부호, 13번은 정수 좌표 조건, 18번은 역함수에서 새 함수로 넘어가는 조건이 검토 대상입니다. 15번에서는 좌표와 실제 선분의 길이를 구별하면 부호 실수를 줄일 수 있습니다.

경우의 수에서는 서로 다른 경우를 나누는 기준을 먼저 적으세요. 7번은 끝자리와 첫자리의 제약, 14번은 삼각형이 되지 않는 배치, 16번은 대진의 중복, 17·20번은 남은 출력의 처리에 주의해야 합니다. 마지막 검토에서는 계산을 모두 반복하기보다 빠뜨린 경우나 임의로 추가한 조건이 있는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 역함수의 정의와 일대일대응을 복습하세요. 대응표에서 입력과 출력을 바꾸고 그래프에서 거꾸로 함숫값을 읽어 보세요(1·5·8번 대비).
2. 유리함수의 점근선과 무리함수의 시작점을 스케치하세요. 평행이동으로 바뀌는 위치와 유지되는 모양을 나누어 설명하세요(2·3·9·13번 대비).
3. 순열과 조합의 차이를 문장으로 설명한 뒤 기호를 쓰세요. 자리 제약, 여사건, 도형이 성립하지 않는 경우를 각각 연습하세요(4·6·7·10·14번 대비).
4. 역함수의 그래프 성질과 반복 합성을 따로 연습하세요. 성질의 적용 조건을 확인하고 유한집합에서는 대응표로 반복 경로를 추적하세요(11·12번 대비).
5. 그래프에서 좌표를 문자로 두어 길이를 표현하고, 역함수에서 얻은 정보를 다른 함수의 조건으로 옮겨 보세요(15·18번 대비).
6. 대진표와 함수의 개수는 선택 단계별로 나누어 기록하세요. 고정된 대상과 남은 자유를 구별하고 중복 여부를 확인하세요(16·17·20번 대비).
7. 서술형은 결론보다 과정의 연결을 점검하세요. 합성 순서와 역함수 계산의 근거, 경우를 나눈 기준을 문장으로 남기는 연습을 하세요(19·20번 대비).