배재고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

배재고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

배재고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이 회차는 함수의 기본 성질, 합성과 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열과 조합을 중심으로 구성됩니다. 합성된 이차함수의 방정식도 포함되어 있어 함수의 관계를 방정식으로 바꾸는 연습이 필요합니다.

초반에는 함숫값 계산이나 기본 그래프 성질을 확인하지만, 뒤로 갈수록 정의역과 치역을 함께 조절하고 교점이나 경우의 수를 분석해야 합니다. 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 그 공식을 적용할 수 있는 구간과 조건을 설명할 수 있어야 합니다.

객관식에서 어려운 문항을 모두 해결한 뒤 서술·단답형에 들어가는 전략은 부담이 큽니다. 17번의 대칭을 이용한 넓이, 18번의 일대일대응처럼 출발점을 정할 수 있는 문항을 먼저 살펴보고 풀이 순서를 정하는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 자동 분류 기준 후반에 이어지는 어려움

쉬움인 1·3·8번에서는 합성 순서, 상수함수의 뜻, 조합의 분할 원리를 정확히 확인하세요. 보통인 2·4·6·7번도 단순 계산만으로 처리하기보다 증가 조건이나 그래프의 이동 방향을 읽어야 합니다. 이 구간에서 실수를 줄여 후반에 쓸 시간을 마련하는 것이 우선입니다.

5번은 초반에 놓인 어려움 문항입니다. 대응 관계가 바로 정리되지 않으면 표시하고 다음 문항으로 이동하세요. 9번 이후에는 자동 분류 기준 어려움이 이어지지만, 도형 세기와 역함수 그래프처럼 요구하는 사고가 다르므로 익숙한 유형을 찾아 접근할 수 있습니다.

이 분류는 실제 응시 결과가 아니라 자동 분류 기준입니다. 개인별 체감 난도는 다를 수 있으므로 어려움이라는 표시만으로 포기할 필요는 없습니다. 복습할 때는 계산이 막혔는지, 조건을 누락했는지, 경우를 나누는 기준을 못 찾았는지 구별하세요.

출제 단원 — 무리함수와 역함수의 연결에 주목

무리함수는 기본 그래프를 확인하는 7번에서 출발해, 10번의 대칭과 매개변수, 11번의 역함수 교점, 17번의 넓이, 19번의 구간별 그래프 분석으로 이어집니다. 근호 안의 조건만 외우기보다 치역이 역함수의 정의역으로 바뀌는 흐름까지 묶어 공부하세요.

합성함수와역함수에서는 실제 함숫값 계산과 유한집합의 대응 구조가 함께 나옵니다. 유리함수도 점근선 확인에서 절댓값 그래프 및 정수 함숫값 분석으로 확장됩니다. 단원 이름이 같아도 그래프 문제와 대응 개수 문제의 접근법을 구별해야 합니다.

순열조합은 조합 공식의 의미를 확인하는 8번과 도형을 세는 9·20번, 연속 조건을 분류하는 21번으로 구성됩니다. 함수 단원인 2번에도 선택과 조합의 관점이 쓰입니다. 공식별 암기보다 무엇을 하나의 경우로 셀지 정하는 연습이 여러 문항에 연결됩니다.

문항별 정리

아래 난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다. 문항의 핵심 개념과 확인할 조건을 중심으로 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 달라진 후반 구성

작년과 올해는 같은 수학(하) 시험이며 총 문항 수가 같습니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 늘고 쉬움과 보통은 줄었습니다. 서술·단답형은 작년 18번부터였으나 올해는 17번부터이며, 올해 해당 구간 전체가 어려움으로 분류됩니다.

작년에는 함수·유리함수·순열조합의 비중이 공동으로 가장 컸지만, 올해는 무리함수가 가장 많습니다. 합성함수와역함수도 작년보다 출제 비중이 커졌습니다. 따라서 무리함수와 역함수의 정의역·치역, 대칭 관계를 연결하는 학습을 우선할 근거가 있습니다.

작년에는 후반에도 보통으로 분류된 18·19번이 있었고, 올해는 9번 이후 어려움이 끊기지 않습니다. 다음 시험 대비에서는 후반 번호를 무조건 마지막에 풀기보다, 전체 문항을 훑으며 접근 가능한 그래프나 조합 문항을 골라 푸는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 풀이 구조를 세우는 부담이 큰 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 익숙한 성질을 적용한 뒤에도 빠진 경우와 중복을 점검해야 한다는 것입니다. 하나의 절대적인 난도 순위를 뜻하지는 않습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 1·3·8번의 기본 개념과 2·4·6·7번의 조건을 정확히 처리하세요. 5번에서 대응 관계가 잡히지 않거나 9번에서 세는 기준이 보이지 않으면 미해결 이유를 짧게 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 식을 반복해서 읽는 시간이 늘어나는지를 기준으로 멈춤을 판단하세요.

9~16번을 모두 마칠 때까지 서술·단답형을 미루지 마세요. 17번은 대칭이동, 18번은 꼭짓점과 단조성이라는 출발점이 뚜렷합니다. 서술형 연습에서는 결론뿐 아니라 정의역 제한과 치역 일치의 근거를 적는 시간을 포함해 재고, 실제 시험 시간에 맞춰 후반에 남길 시간을 정하세요.

검산은 전개보다 조건을 중심으로 하세요. 7·11·17번은 역함수의 정의역, 12번은 구간별 교점의 위치, 15번은 공통근 중복, 16번은 정수 함숫값의 중복과 경계, 20·21번은 경우의 누락을 확인하면 좋습니다. 답안의 각 경우 옆에 적용 범위를 적어 두면 검토가 쉬워집니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 기본 정의부터 점검하세요. 상수함수와 증가 조건, 일대일대응에서 정의역·공역·치역의 관계를 말로 설명한 뒤 식으로 옮기세요(2·3·18번 대비).
2. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프를 정리하세요. 점근선, 시작점, 가지 방향, 정의역과 치역을 먼저 표시하는 습관을 들이세요(4·6·7번 대비).
3. 역함수와 합성을 연결하세요. 함숫값 계산에서 시작해 감소함수의 교점과 대칭이동을 이용한 넓이로 확장하세요(1·11·13·17번 대비).
4. 유한집합의 대응을 그림으로 나타내세요. 서로 되돌아오는 관계와 반복 적용 후 돌아오는 묶음을 구분하고, 중복 없는 개수 계산을 연습하세요(5·14번 대비).
5. 매개변수와 구간 조건을 표로 정리하세요. 공통 정의역, 교점의 위치, 실근과 정수 함숫값의 개수를 단계별로 확인하세요(10·12·15·16·19번 대비).
6. 경우의 수는 분류 기준을 먼저 적으세요. 특정 원소의 포함 여부, 도형의 크기와 방향, 연속된 수의 위치를 기준으로 나눈 뒤 서로 겹치는지 검토하세요(8·9·20·21번 대비).