풍문고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

풍문고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 절대부등식, 순열조합입니다. 함수의 기본 정의와 그래프 성질을 알고 있는지부터 조건을 만족하는 경우를 체계적으로 셀 수 있는지까지 다룹니다.

초반에는 함수의 뜻, 일대일함수, 합성함수의 함숫값처럼 정의를 적용하는 문제가 배치되어 있습니다. 이후에는 그래프와 식을 연결하거나 순열·조합의 성질을 판단해야 합니다. 공식이 적용되는 대상과 범위를 설명할 수 있어야 합니다.

서술·단답형은 모두 같은 성격이 아닙니다. 도로망의 경로와 양의 정수 조건을 세는 문항도 있고, 부등식의 등호 성립 가능성이나 조각별 함수의 치역을 확인하는 문항도 있습니다. 계산 결과를 쓰는 것과 별개로 경우를 나눈 이유와 후보가 허용되는 근거를 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움 문항은 객관식 초반에 모여 있습니다. 순열·조합 기호, 대응 관계, 역함수의 의미를 빠르게 확인하는 구간입니다. 다만 8번은 함수가 같아지는 입력을 찾은 뒤 가능한 정의역을 생각해야 하므로, 식이 일치하는 지점만 구하고 멈추지 않도록 주의하세요.

보통 문항은 계산과 개념을 연결하는 성격이 강합니다. 9번은 합성된 함수의 역함수에서 적용 순서가 중요하고, 13번은 색칠 순서에 따라 선택 가능한 색이 달라집니다. 서술·단답형의 18·20·22번도 조건을 짧게 정리하면 접근할 수 있으므로 앞의 어려운 문제 때문에 함께 미룰 필요는 없습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 객관식 끝부분과 서술·단답형에 걸쳐 있습니다. 실제 체감 난도는 준비 유형에 따라 달라질 수 있습니다. 예외와 경계를 빠뜨리지 않도록 풀이 전에 분류 기준을 적어 보세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 경계 조건

순열조합은 기호 계산에서 시작해 서로소인 순서쌍, 도형 선택, 색칠, 도로망, 숫자 배열, 정수 조건까지 소재가 넓습니다. 공통 과제는 대상을 세기 전에 겹치지 않는 분류를 만드는 것입니다. 순서가 있는지, 같은 숫자를 구별하는지, 한 번 선택한 대상을 다시 사용할 수 있는지부터 정리하세요.

함수에서는 정의역과 공역을 확인하는 기본 문제와 조건으로 새롭게 정의된 함수를 읽는 문제가 함께 나옵니다. 무리함수 단원도 근호 계산뿐 아니라 합성·역함수와 치역으로 이어집니다. 단원별 공식만 따로 연습하기보다 입력 범위와 출력 범위를 함께 표시하는 방식으로 연결해서 공부하세요.

유리함수의 14번과 절대부등식의 17번은 각각 교점 개수와 최솟값을 다룹니다. 분모를 없애거나 부등식을 적용한 뒤 원래 조건으로 돌아와야 합니다. 표는 등록된 단원 분류이며, 실제 풀이에서는 여러 개념이 함께 쓰입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합 확대와 어려움 문항 감소

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수와 서술·단답형 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 7문항에서 올해 5문항으로 줄고, 쉬움과 보통은 각각 늘었습니다. 이 변화만으로 실제 응시자의 체감 난도가 같게 움직였다고 단정할 수는 없지만, 준비할 문제의 분포는 구별할 수 있습니다.

작년에는 순열조합과 함수가 각각 5문항으로 가장 많았고, 올해는 순열조합이 8문항으로 늘었습니다. 함수 5문항과 무리함수 4문항은 유지되었으며, 유리함수는 작년 1문항에서 올해 2문항이 되었습니다. 따라서 순열조합의 다양한 소재를 익히면서 함수의 정의와 범위 해석을 함께 유지하는 대비가 적절합니다.

작년 어려움 문항은 9·13·14·17·18·21·22번이고, 올해는 14·15·17·19·21번입니다. 올해는 초반보다 객관식 끝부분에 어려움이 나타나며, 마지막 문항이 반드시 가장 어렵지는 않습니다. 다음 시험을 준비할 때도 번호만으로 풀이 순서를 고정하지 말고, 전체를 훑어 자신이 다룰 수 있는 구조부터 찾는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 예외를 구분해야 하고, 계산 뒤 원래 조건으로 검증해야 합니다. 경우를 나눈 표나 간단한 그래프를 남기면 검토할 지점이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 정의 확인과 기본 계산을 정확하게 처리하세요. 6번에서 근호 계산이 길어지면 식을 먼저 정리하고 대입하는 방향을 확인하고, 14·15번의 조건 해석이 막히면 표시한 뒤 서술·단답형 전체도 살펴보세요. 16·18·20·22번은 자동 분류 기준 보통이므로 객관식을 모두 끝내야 접근할 수 있는 구간으로 생각하지 않는 편이 좋습니다.

서술·단답형은 출발 조건과 검증을 함께 쓰는 시간을 남기세요. 17번은 부등식으로 얻은 하한에서 등호가 실제로 성립하는지 확인해야 합니다. 18번은 경로의 종류를 먼저 정하고 도로 선택을 곱하며, 얻은 후보가 추가 도로 수의 범위를 만족하는지 검사하세요. 20번은 양의 정수 조건과 엄격한 부등호를 정수 범위로 옮기는 과정이 핵심입니다.

마지막 검토에서는 결과를 다시 계산하기 전에 조건 표시를 확인하세요. 9번은 역함수의 적용 순서와 제곱 전 부호, 13번은 인접하지 않은 영역의 색 중복 허용, 19번은 맨 앞자리와 같은 숫자의 인접 제한을 살피세요. 21번은 치역의 경계 포함 여부, 22번은 특별한 입력에서 조건의 제약이 달라지는지를 확인하는 것이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 일대일성부터 복습하세요. 입력마다 출력이 정해지는지, 출력이 공역에 속하는지, 서로 다른 입력의 출력이 겹치는지 구별해 설명하세요(3·4·8번 대비).
2. 합성과 역함수는 대응을 따라 읽는 연습부터 하세요. 합성의 순서와 역으로 되돌아가는 순서를 표시하고, 필요한 함숫값만 구하는 방법을 익히세요(2·5·9번 대비).
3. 유리식·무리식을 정리한 뒤 그래프의 시작점과 점근선을 연결하세요. 식을 변형해도 유지해야 하는 정의역과 제곱 전 조건을 따로 기록하세요(6·7·14·16번 대비).
4. 경우의 수는 합의 법칙과 곱의 법칙을 말로 설명하며 연습하세요. 순서쌍, 도형, 색칠, 도로망에서 서로 겹치지 않는 분류를 먼저 만드세요(1·10·11·12·13·18번 대비).
5. 제약이 있는 배열과 정수 세기를 집중 연습하세요. 끝자리 고정, 같은 숫자의 틈 배치, 첫자리 제한, 양의 정수 범위를 표로 정리해 보세요(19·20번 대비).
6. 최솟값과 치역은 가능한 범위를 얻은 뒤 실제 달성 여부를 확인하세요. 등호 조건, 열린 경계, 특별한 입력을 구분해 짧은 근거를 쓰는 연습으로 마무리하세요(17·21·22번 대비).