광남고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

광남고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

광남고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 정의에서 그래프의 위치 관계와 조건을 만족하는 경우의 수까지 다룹니다.

함수 문항에서는 식을 대입하는 일보다 주어진 조건을 정리하는 일이 먼저입니다. 역함수의 존재는 일대일대응으로, 구간별 함수는 각 구간의 치역으로 바꾸어 읽어야 합니다. 무리함수와 직선이 만나는 문제에서도 그래프의 시작점과 허용되는 정의역을 먼저 확인하면 계산 방향을 정하기 쉽습니다.

순열조합 역시 공식을 바로 적용하기보다 분류 기준을 세워야 합니다. 색칠에서는 인접 관계, 카드 배열에서는 배수 조건, 사전식 배열에서는 앞부분이 같은 묶음이 기준입니다. 후반 함수 문항까지 대비하려면 개념을 말로 설명하고 그 설명을 식이나 표로 옮기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반의 기본형 이후 이어지는 조건 해석

쉬움은 2·3·7번입니다. 유리함수의 평행이동, 서로 같은 함수의 정의역, 전개식의 항과 약수의 개수를 다룹니다. 풀이가 짧더라도 이동 방향의 부호나 공집합 제외 조건을 놓치면 흔들릴 수 있으므로, 기본 정의를 확인하며 처리하세요.

보통은 1·4·5·8·9번입니다. 함수의 종류를 구별하거나 교점의 좌표 관계를 이용하고, 색칠과 사전식 배열을 분류하는 문제입니다. 초반 6번에서 합성과 역함수의 구조가 복잡하게 보이더라도 뒤의 7~9번을 확인하는 운영이 필요합니다.

10~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 사분면, 치역, 접선, 실근 개수 등 판단 대상이 바뀌며 마지막에는 식과 그래프를 직접 정리해야 합니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 것은 아니지만, 후반에 조건 정리 시간이 길어질 수 있는 구성임을 보여 줍니다.

출제 단원 — 합성함수와역함수 중심의 그래프 연결

합성함수와역함수는 6·8·13·18·19번입니다. 역함숫값을 원래 함수의 대응으로 고치는 기본형에서 출발해, 구간별 치역을 맞추거나 합성식을 치환하고 합성 그래프를 그리는 문제로 확장됩니다. 역함수 식을 무조건 구하기보다 어떤 입력과 출력이 연결되는지 먼저 표시하세요.

무리함수는 10·12·16·20번이며 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 시작점과 사분면, 구간 전체에서 성립하는 부등식, 공통접선, 역함수와의 교점을 다룹니다. 유리함수의 2·4·15번도 평행이동에서 교점과 치역의 겹침으로 이어지므로, 그래프의 모양과 범위를 함께 읽어야 합니다.

함수의 1·3·14·17번은 항등함수·상수함수·일대일대응과 정의역·치역을 확인합니다. 순열조합의 5·7·9·11번은 색칠, 항과 약수의 개수, 사전식 배열, 배수 조건을 다룹니다. 단원명만으로 난도를 판단하지 말고, 기본 개념이 여러 조건과 결합되는 형태까지 연습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 그래프의 의미를 식으로 바꾼 뒤 다시 그래프의 범위와 경계로 돌아와 확인해야 합니다. 계산 결과만 정리하지 말고 그 결과가 허용되는 이유까지 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념과 짧은 계산으로 접근할 수 있는 문항을 먼저 확보하세요. 6번의 합성 순서에서 막히면 표시하고 7~9번으로 넘어갈 수 있도록 연습하는 편이 좋습니다. 10번 이후에는 어려움 문항이 이어지므로, 번호 순서대로 끝내는 데 집착하지 말고 출발점이 보이는 문제를 골라 푸세요.

19·20번은 객관식을 모두 마친 뒤 처음 읽기보다 전체를 훑을 때 요구 사항을 확인해 두세요. 19번은 안쪽 함숫값이 바깥 함수의 어느 구간으로 들어가는지 표로 정리한 뒤 식과 그래프를 맞추어야 합니다. 20번은 증가성과 교점의 위치를 먼저 설명해야 하므로, 계산 외에 근거를 정리할 시간도 남겨 두는 것이 좋습니다.

검토할 때는 계산을 되풀이하기보다 빠진 조건을 찾으세요. 3번은 공집합 제외, 5번은 한 점에서만 만나는 영역의 인접 여부, 13·15번은 치역의 경계 포함 여부를 확인하세요. 16번은 치환 변수의 비음수 조건, 18번은 실근의 존재 여부, 20번은 제곱 전 양변의 부호와 교점이 서로 다른지를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의부터 정리하세요. 항등함수·상수함수·일대일대응을 대응도로 설명하고, 정의역과 치역의 원소를 구별해 보세요(1·3·14번 대비).
2. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프를 복습하세요. 평행이동의 방향, 점근선, 시작점과 정의역을 한 그림에 표시해 보세요(2·4·10번 대비).
3. 경우의 수는 분류 기준을 먼저 적으세요. 색의 일치 여부, 사전식 배열의 앞부분, 나머지에 따른 카드 분류를 표로 만들어 보세요(5·7·9·11번 대비).
4. 합성과 역함수는 입력에서 출력으로 이어지는 순서를 써 보세요. 역함숫값을 원래 함수의 대응으로 바꾸고, 합성 전체의 역을 취할 때 순서를 확인하세요(6·8·18번 대비).
5. 구간별 함수의 치역과 합성 그래프를 연결하세요. 각 구간의 경계를 표시하고 치역의 겹침·누락과 합성식의 전환점을 확인하세요(13·15·19번 대비).
6. 그래프 조건을 방정식으로 바꾸는 연습을 하세요. 기울기의 범위, 접선 조건, 역함수와의 교점을 구한 뒤 원래 정의역과 부호 조건으로 검토하세요(12·16·20번 대비).
7. 함수 개수 세기는 구조를 확정한 뒤 진행하세요. 합성 조건에서 일대일대응을 끌어내고, 함숫값 사이의 대소 관계에 맞는 배열만 세어 보세요(17번 대비).