풍문고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

풍문고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합을 다룹니다. 함수의 기초 연산에서 그래프와 역함수의 조건으로 나아가며, 경우의 수에서는 단순 선택과 조건이 붙은 배치를 함께 묻습니다.

초반에는 대입, 유리식 정리, 무리함수의 이동, 순열과 조합의 기본 계산을 확인합니다. 이후에는 반복 합성의 규칙, 함숫값의 선택 범위, 일대일대응의 제약처럼 식을 계산하기 전에 구조를 읽어야 하는 문제가 등장합니다. 기본 개념을 아는 것과 조건을 풀이에 적용하는 것을 연결해 연습해야 합니다.

서술·단답형은 모두 같은 난도로 묶이지 않습니다. 합성 순서를 비교하는 15번과 역함수의 도출 과정을 쓰는 16번을 확보하면서, 최솟값과 분배·좌석 배치 문제에 시간을 남기는 운영이 적절합니다. 특히 16번은 결과뿐 아니라 식을 정리하는 방법도 요구하므로 풀이 과정까지 준비하세요.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 조건 해석으로 전환

1~8번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 합성함수의 계산 순서, 역함수의 뜻, 합의 법칙과 조합의 구별을 정확히 알고 있다면 풀이를 짧게 정리할 수 있습니다. 다만 8번처럼 생활 상황에 주어진 공식을 읽는 문항은 각 기호가 가리키는 양을 먼저 대응시켜야 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

보통인 9~11번은 반복의 주기나 홀짝 분류, 입력별 선택 가능성을 찾아 계산을 압축하는 구간입니다. 이어지는 12~14번에서는 일대일대응, 그래프의 구간별 성질, 이웃하는 좌석 조건이 더해집니다. 같은 개념을 사용해도 추가 조건 때문에 가능한 경우가 줄어드는 과정을 따져야 합니다.

후반에는 19번처럼 기본 개념을 직접 확인하는 문항도 있습니다. 어려운 문제를 만나면 표시하고 전체를 살피세요. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 다를 수 있지만, 이 배치는 쉬운 서술·단답형을 먼저 확인할 필요가 있음을 보여 줍니다.

출제 단원 — 합성함수와역함수·순열조합의 높은 비중

합성함수와역함수는 기본 함숫값부터 반복 합성, 합성 순서의 비교, 유리함수의 역함수, 유한집합에서의 일대일대응까지 폭이 넓습니다. 공식을 외우는 데 그치지 말고 입력과 출력의 방향을 화살표로 그리며 설명하는 연습을 권합니다. 특히 역함수는 역수와 다르며, 원래 함수의 정의역과 치역이 서로 바뀐다는 점을 확인하세요.

순열조합은 기본 계산을 다룬 5·6번에서 조건부 선택과 배치로 확장됩니다. 10번은 홀수 카드의 선택 개수, 14번은 이웃하는 좌석의 위치, 18번은 바구니별 제한, 20번은 기준 인물의 자리로 분류할 수 있습니다. 문제마다 같은 공식을 적용하기보다 무엇을 먼저 고정할지 정하는 훈련이 중요합니다.

유리함수는 식의 연산뿐 아니라 교점과 최솟값까지 다룹니다. 함수 단원의 22번에서는 무리함수와 유리함수를 구간별로 결합하므로 단원 표만 보고 학습을 분리하기 어렵습니다. 무리함수의 기본 정의역·치역과 유리함수의 점근선이 복합 문제의 출발 조건이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 확정된 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 앞 단계에서 정한 제한이 다음 단계의 계산 범위를 결정합니다. 풀이 옆에 현재 가능한 자리, 원소, 구간을 남겨 두고 후보를 얻을 때마다 원래 조건에 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본형을 정확히 처리하고 9~11번의 규칙을 찾는 데 집중하세요. 12~14번에서 경우 정리가 길어지면 표시한 뒤 서술·단답형의 15·16·19번도 확인하는 편이 좋습니다. 21·22번이 객관식이라는 점까지 포함해 전체 구성을 미리 익혀 두세요.

서술·단답형은 풀이의 첫 문장을 준비해 두면 도움이 됩니다. 16번은 원래 함수의 정의역을 적고 식을 정리해 역함수를 도출하며, 지정된 방법을 따르세요. 17번은 부등식을 적용할 항의 양수 조건과 등호 성립 조건을 함께 적습니다. 18·20번은 경우를 나누는 기준을 제목처럼 써 두면 계산 도중 같은 경우를 다시 세는 실수를 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 계산 결과보다 제외 조건부터 보세요. 유리식은 분모가 사라지는 입력을 제외했는지, 무리함수는 근호 안의 조건과 끝점 포함을 지켰는지 확인합니다. 배치 문제는 실제로 이웃하는 좌석을 그림에서 다시 살피고, 22번은 구간 밖의 교점과 제곱 과정에서 생긴 후보를 걸러 냈는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성의 안쪽 함수부터 계산하고 역함숫값을 원래 함수의 입력 찾기로 바꾸세요. 반복 합성은 대응의 순환을 그려 주기로 정리하세요(1·2·9번 대비).
2. 유리식의 통분과 항등식의 계수 비교를 복습하고, 생활 공식의 기호를 구분해 관계식을 세워 보세요. 분모 조건은 계산 전에 적으세요(3·8번 대비).
3. 무리함수의 시작점, 정의역·치역, 축과의 만남을 그림으로 확인하세요. 유리함수는 점근선으로 구간을 나누고 교점과 최솟값 문제로 확장하세요(4·13·17·19번 대비).
4. 합의 법칙과 곱의 법칙, 순열과 조합을 구별한 뒤 홀짝별 선택을 연습하세요. 각 경우가 겹치지 않고 전체를 포함하는지 설명하세요(5·6·10번 대비).
5. 함수의 개수는 입력별 선택 범위부터 정리하고 일대일대응 조건이 붙을 때 선택들이 어떻게 연결되는지 비교하세요. 합성 순서의 비교와 역함수 도출도 직접 써 보세요(7·11·12·15·16·21번 대비).
6. 좌석 배치와 제한된 분배는 기준 자리 또는 필수 배분을 먼저 정하세요. 같은 크기의 묶음을 중복 계산하지 않는 연습을 한 뒤, 구간별 함수의 조건을 종합하는 문제에 도전하세요(14·18·20·22번 대비).