진선여자고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

진선여자고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

진선여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 범위는 삼각함수, 삼각함수그래프, 삼각함수활용, 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 그래프를 읽는 능력과 수열을 식으로 정리하는 능력을 두루 확인하는 구성입니다.

초반에는 삼각함수의 각 변환, 주기와 최댓값, 등차중항, 점화식의 순차 대입처럼 기본 개념을 직접 적용하는 문항이 있습니다. 이후에는 주기와 대칭으로 근을 찾거나, 합으로 주어진 조건에서 항 사이의 관계를 끌어내야 합니다. 공식의 암기와 함께 어떤 표현으로 바꿀지 판단하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형인 19·20번은 자동 분류 기준 보통입니다. 반면 마지막 21번은 객관식으로 분류되어 있으며 도형과 삼각형의 넓이를 연결합니다. 시험 끝부분을 모두 같은 성격으로 보지 말고 문항마다 필요한 개념과 접근 가능성을 확인하세요.

난이도 분포 — 객관식 중후반의 조건 해석

쉬움은 2·3·4·6번입니다. 삼각부등식의 해 구간, 주기와 최댓값, 등차수열의 항 관계, 점화식의 계산이 중심입니다. 단순 계산으로 보이는 문제에서도 정의역의 끝점이나 대입하는 항의 번호를 잘못 읽지 않도록 확인해야 합니다.

보통인 7·8번은 각각 이차함수의 최댓값을 수열로 나타내는 과정과 누적합 조건을 점화식으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 12번은 부분합이 최대가 되는 위치를 항의 부호 변화로 읽습니다. 기본 공식을 알고 있어도 조건을 적절한 식으로 바꾸는 데 시간이 걸릴 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 9번부터 등장합니다. 9·10·15·16번은 근의 위치나 교점 개수를 다루며, 13·14·18번은 수열 관계와 증명 구조를 해석합니다. 이 분류를 실제 응시자의 체감 난도로 단정할 수는 없지만, 경우 분류와 경계 검토가 후반의 주요 부담이라는 점은 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 삼각함수그래프와 수열 관계식

가장 많은 삼각함수그래프는 부등식과 주기에서 시작해 교점 세기로 확장됩니다. 특히 치환한 변수의 해를 찾는 단계와 원래 각의 해를 세는 단계가 다를 수 있습니다. 그래프의 교점만 세고 끝내지 말고 원래 정의역으로 돌아오는 과정까지 묶어 연습하세요.

수학적귀납법으로 분류된 문항이 모두 증명 문제인 것은 아닙니다. 6번은 순차 대입, 8·13번은 합 조건의 차분, 18번은 구간별로 정의된 점화 관계의 역추적을 다룹니다. 14번에서는 귀납 가정에 무엇을 더해야 다음 단계가 되는지 확인하는 증명 읽기가 필요합니다.

삼각함수활용의 11·17·21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 사인법칙이나 코사인법칙을 쓰기 전에 원의 지름, 외심, 접점에서 얻는 기하 관계를 파악해야 합니다. 등차등비수열과 수열의합에서는 중항, 부분합의 차, 유리화처럼 계산을 줄이는 구조를 우선 익히세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 대응 관계를 정리해야 합니다. 15번은 치환값과 각, 17번은 닮은 도형의 각과 변, 18번은 이전 항과 다음 항을 각각 구별해서 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형이 보이는 초반 문항을 처리한 뒤 전체를 훑어보세요. 9~11번에서 그래프나 도형 해석이 길어지면 표시하고 12번을 확인하는 방식이 유용합니다. 13~18번에 머물다가 19·20번을 읽지 못하는 일이 없도록, 서술·단답형의 출발 조건도 미리 살펴보세요.

그래프 문제에서는 그림을 정교하게 그리는 데 시간을 쓰기보다 정의역, 대칭축, 구간의 경계부터 표시하세요. 9번은 근이 존재할 수 있는 구간, 10번은 대칭인 근과 주기로 이동한 근의 구별이 중요합니다. 15·16번에서는 끝점 포함 여부를 따로 적으면 교점 개수를 다시 세는 일을 줄일 수 있습니다.

수열 문제의 검토는 첫 항과 적용 범위를 중심으로 하세요. 8·13번은 식을 빼서 얻은 관계가 처음부터 성립하는지 확인해야 합니다. 19번은 항의 양수 조건과 부분합 차의 범위, 20번은 유리화 뒤 남는 양 끝 항이 중요합니다. 도형 문제는 공식에 넣은 각과 대변이 실제로 대응하는지 마지막에 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 각 변환과 삼각함수의 기본 관계를 복습하고, 부등식은 그래프와 정의역을 함께 그려 해결하세요. 주기와 최댓값을 정하는 계수의 역할도 구별하세요(1·2·3번 대비).
2. 등차·등비중항을 식으로 옮기고, 부분합의 차를 항의 묶음으로 펼쳐 보세요. 부분합의 최대 조건은 인접한 항의 부호로 설명해 보세요(4·5·12·19번 대비).
3. 점화식은 직접 대입하는 유형에서 시작해 이웃한 합 조건을 빼는 유형으로 확장하세요. 처음 항의 예외와 관계식의 적용 범위를 따로 적으세요(6·8·13번 대비).
4. 수열의 합은 일반항을 얻는 단계와 합을 정리하는 단계를 나누세요. 완전제곱식으로 최댓값을 찾거나 유리화로 소거되는 항을 확인하는 연습을 하세요(7·20번 대비).
5. 주기·대칭을 이용한 근 찾기에서 절댓값 그래프와 구간별 그래프의 교점 세기로 넘어가세요. 치환값마다 원래 각이 어떻게 대응하는지 기록하세요(9·10·15·16번 대비).
6. 귀납 증명에서는 가정과 목표의 차이를 표시하고, 구간별 점화식에서는 출력값에서 입력값을 찾는 연습을 하세요. 경계와 부호를 후보마다 검사하세요(14·18번 대비).
7. 원의 지름과 중심, 공통현, 접선의 성질을 먼저 복습한 뒤 사인법칙·코사인법칙·넓이 공식을 연결하세요. 보조 도형의 각과 변을 표시하는 습관을 들이세요(11·17·21번 대비).