반포고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

반포고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

반포고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선과 평균값 정리를 포함한 도함수의 활용입니다. 극한을 계산하는 출발점에서 미분의 정의를 거쳐 정리를 적용하는 논증까지 연결됩니다.

미분계수와 도함수 단원에는 접선 기울기 계산뿐 아니라 함수 항등식, 구간별 함수의 미분가능성, 평균변화율의 해석이 함께 들어 있습니다. 따라서 같은 단원으로 분류된 문항이라도 필요한 접근이 다릅니다. 공식을 먼저 고르기보다 주어진 조건이 함수값을 정하는지, 좌우의 상태를 맞추는지 살펴보세요.

서술·단답형이 끝부분에만 모여 있지 않다는 점도 중요합니다. 12번의 증명 과정 완성과 19번의 미분법 증명처럼 풀이 근거를 직접 다루는 문항이 있습니다. 객관식 계산 연습과 별도로 정의에서 출발하는 답안을 써 보는 훈련이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반의 조건 해석과 마지막 논증

위 난이도는 자동 분류 기준입니다. 1번은 곱의 미분법을 기울기 정보에 적용하는 출발 문항이고, 2~6번은 보통으로 분류됩니다. 다만 그래프에서 합성함수의 접근 방향을 읽거나 명제의 반례를 판단해야 하므로, 초반이라고 모두 대입 계산으로 처리할 수는 없습니다.

7번 뒤에 보통인 8번이 있고, 9~11번은 어려움 문항이 이어집니다. 13~15번도 연속과 미분가능성을 여러 조건으로 나누는 구간입니다. 막힌 문항을 붙들기보다 아직 확인하지 않은 보통 문항으로 이동할 수 있도록 번호별 진행 상태를 표시해 두세요.

후반 19~21번은 보통이지만, 미분의 정의와 극한의 성질, 평균값 정리의 적용 근거를 정리해야 합니다. 분류상 난이도와 답안 작성에 필요한 시간은 같지 않습니다. 22번에 도달하기 전에 이 구간의 논증 시간을 확보하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수가 절반

미분계수와도함수가 11문항으로 가장 많습니다. 곱의 미분법을 적용하는 1번과 이를 정의로 증명하는 19번을 함께 보면, 공식 사용과 공식의 성립 근거를 모두 준비해야 한다는 점이 드러납니다. 6번의 극한 변형과 16번의 함수 항등식도 정의를 활용하는 연습에 적합합니다.

함수의연속은 문항 수가 적어도 13·14번이 어려움입니다. 곱함수의 불연속이 사라지는 조건이나 특정 점의 함수값 변경을 다루므로, 다항함수의 연속성을 확인하는 3번만으로 준비를 마치기 어렵습니다. 극한 단원 역시 17번에서는 접선과 원의 기하 관계를 먼저 식으로 정리해야 합니다.

도함수의활용은 접선 조건을 다루는 8·18번과 정리를 이용하는 21·22번으로 접근이 나뉩니다. 접점과 기울기를 연결하는 계산 연습, 평균값 정리의 가정과 결론을 쓰는 논증 연습을 각각 진행한 뒤 섞어서 풀어 보세요.

문항별 정리

각 문항은 제공된 개념·해설 글·수식을 함께 확인해 요약했습니다. 아래 난이도 표시는 모두 자동 분류 기준이며, 계산 결과 대신 접근과 점검할 조건을 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 문항이 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 원래 조건을 바로 계산하기보다 새 함수나 기하 관계로 바꾸는 단계가 필요합니다. 복습할 때에는 계산을 다시 하는 데 그치지 말고, 왜 그 표현을 선택했는지 한 문장으로 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 식을 세우는 방향이 분명한 문항부터 마무리하세요. 7번이나 9~11번에서 출발 조건을 찾지 못하면 표시한 뒤 12번 이후도 확인하는 편이 좋습니다. 번호가 뒤라고 더 어렵다고 가정하지 말고, 문제마다 필요한 계산과 논증의 분량을 먼저 살펴보세요.

서술형에서는 결론만 적기보다 사용할 근거를 먼저 짧게 써 두세요. 19번은 미분가능성에서 연속성을 끌어오는 단계, 21번은 평균값 정리 뒤에 도함수의 연속성을 사용하는 단계가 중요합니다. 답안을 정리할 시간을 남겨 두어 정리의 적용 구간과 가정을 빠뜨리지 않도록 하세요.

검토할 때에는 2번의 접근 방향, 9번의 연속 조건과 미분 조건의 구별, 13번의 불연속 후보가 겹치는 경우, 15번의 절댓값 내부 부호 변화를 우선 보세요. 17번은 거리식의 부호를, 22번은 끝점까지 포함한 논리 연결을 확인하세요. 계산을 모두 되풀이하기보다 풀이가 갈라지는 조건을 재점검하는 편이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱의 미분법과 미분계수 정의를 먼저 정리하세요. 기울기 정보의 대입과 극한식 변형을 연습하고, 같은 공식을 정의로 설명해 보세요(1·6·19번 대비).
2. 좌극한·우극한과 연속 조건을 그래프에 표시하세요. 합성함수의 접근 방향, 곱함수의 불연속 후보, 한 점의 함수값 변경을 구별하세요(2·3·13·14번 대비).
3. 구간별 함수는 연속 여부를 먼저 확인한 뒤 좌우미분계수를 비교하세요. 절댓값을 취할 때에는 내부 영점과 부호 변화까지 점검하세요(9·15번 대비).
4. 함수 항등식과 극한의 존재 조건을 연결하세요. 적절한 대입으로 함수의 형태를 줄이고, 절댓값 조건에서 갈라지는 경우를 누락 없이 정리하세요(7·10·16번 대비).
5. 접점을 변수로 둔 접선식을 반복해서 세워 보세요. 외부 점을 지나는 조건, 접선의 교점과 수직 조건, 원의 중심과 거리 조건을 각각 식으로 옮기세요(5·8·17·18번 대비).
6. 평균변화율로 만든 함수와 정리의 증명을 연습하세요. 구간을 다시 나누는 작업부터 평균값 정리·사잇값 정리와 보조함수를 활용하는 서술까지 직접 써 보세요(11·12·21·22번 대비).