진선여자고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

진선여고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

진선여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분입니다. 극한과 연속의 기본 개념에서 출발해 도함수로 그래프의 성질을 판단하는 내용이 중심을 이룹니다.

초반에는 유리화, 미분 공식, 곱의 미분법처럼 접근이 비교적 분명한 문항이 있습니다. 다만 기본형에서도 분모가 사라지는 점의 정의 여부, 미분계수 표현에서 증분의 비율, 최댓값과 극댓값의 구별을 확인해야 합니다. 계산을 시작하기 전에 무엇을 구하는지 짧게 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

후반에는 원래 함수를 그대로 다루는 데서 나아가 최댓값으로 정한 함수, 평행이동한 함수의 곱, 절댓값을 적용한 함수 등을 해석합니다. 이때 원래 함수의 도함수만 구해서는 풀이가 끝나지 않습니다. 새 함수의 식이 바뀌는 경계를 찾고 그 점에서 좌우를 따로 확인하는 능력이 필요합니다.

난이도 분포 — 11번부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 분포하며, 극한의 기본 변형과 다항함수의 미분을 확인합니다. 4번은 미분계수의 정의를 알아보는 문제이고, 7번은 속도로 얻은 값을 다시 시각으로 사용하는 구조입니다. 익숙한 단원이라고 읽는 과정을 생략하면 변수의 역할을 바꾸어 대입할 수 있습니다.

자동 분류 기준 보통 문항은 극점, 닫힌구간의 최대·최소, 양의 실근, 공통 접선을 다룹니다. 특히 9번은 전체 실근 개수와 양의 실근 개수를 구별해야 합니다. 그래프를 대략 그리는 데서 멈추지 말고 정의역의 경계에서 함숫값을 확인해야 조건이 완성됩니다.

자동 분류 기준 어려움 구간인 11~18번에서는 문제마다 판단 기준을 새로 세워야 합니다. 도형을 극한식으로 바꾸는 12번과 새 함수의 경계를 찾는 13~17번의 부담이 서로 다릅니다. 분류는 자동 분류 기준이므로 실제 체감 난도의 순위를 뜻하지 않으며, 후반에서도 자신의 강점에 맞는 문항부터 접근할 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 그래프의 재구성

도함수의활용은 극대·극소와 최대·최소뿐 아니라 실근의 개수, 속도와 가속도, 접선까지 포함합니다. 5·6번으로 증가와 감소를 정리한 뒤 9번에서 수평선과의 교점으로 확장하고, 13·17번에서 움직이는 구간과 변형된 그래프를 다루는 순서로 복습할 수 있습니다.

함수의극한과 함수의연속은 문항 수만으로 학습 비중을 낮추기 어렵습니다. 12번은 도형 관계로 넓이를 표현하는 단계가, 14번은 불연속점에서 곱의 극한을 직접 비교하는 단계가 필요합니다. 기본 개념을 복잡한 대상에 적용하는 연습까지 이어가야 합니다.

11번은 자료상 부정적분으로 분류되어 있지만, 실제 접근에는 도함수의 항등식과 근의 대칭성이 함께 쓰입니다. 단원 이름에 따라 적분 계산만 연습하기보다 도함수 조건으로 원래 다항함수의 계수를 제한하는 과정을 확인하세요. 함수값의 차에서는 적분상수가 어떻게 처리되는지도 살펴볼 만합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성과 어려움 구간의 변화

작년과 올해의 과목은 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 8문항으로 줄었고, 쉬움은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 서술·단답형도 6문항에서 2문항으로 줄었지만, 이 수치만으로 실제 풀이 시간이 충분했다고 판단할 수는 없습니다.

가장 많은 도함수의활용은 두 해 모두 10문항으로, 전체 문항 수가 줄어 올해의 비중은 커졌습니다. 미분계수와도함수는 4문항에서 3문항으로, 함수의극한은 3문항에서 2문항으로 줄었으며 함수의연속은 2문항으로 같습니다. 올해 자료에는 부정적분 분류의 11번도 포함되어 있습니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 6~12번과 16~18번에 있었지만, 올해는 11~18번에 모였습니다. 따라서 초반 기본형을 안정적으로 처리하고 후반의 긴 조건 해석에 집중하는 연습이 중요합니다. 단원별 학습과 함께 후반 문항을 연속해서 풀 때 경계 조건을 빠뜨리지 않는지도 확인하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아닙니다. 공통점은 새 함수가 만들어지는 방식을 먼저 이해해야 한다는 것입니다. 식을 미분하기 전에 그래프가 바뀌는 위치를 표시하고, 그 경계가 최종 조건을 만족하는지 별도로 검사하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본형에서 불필요한 전개를 줄이세요. 5번은 극점의 근과 계수 관계, 8번은 주어진 함수값의 활용이 계산을 줄이는 출발점입니다. 후반을 위해 시간을 확보하되, 9번의 양의 실근 조건처럼 최종 범위를 결정하는 조건은 풀이 옆에 남겨 두세요.

11번 이후에는 문항마다 첫 판단을 적고 접근 여부를 결정하세요. 12번은 도형의 높이를 식으로 표현할 수 있는지, 13번은 최댓값 후보를 구별할 수 있는지가 기준입니다. 구간 분류가 막힌 채 식을 전개하기보다 표시해 두고 다른 문항을 확인한 뒤 돌아오는 방식으로 연습하세요. 서술·단답형 12·18번은 출발 관계와 후보 검토를 정리할 시간도 필요합니다.

마지막 검토에서는 6번의 끝점, 9번의 양수 영역, 13번의 구간 경계, 16번의 절댓값 내부 영점을 우선 확인하세요. 18번은 접선 기울기에 대한 방정식을 얻은 뒤 실제 접선이 존재하는지도 확인해야 합니다. 연습 기록에는 계산 시간뿐 아니라 경우를 나누는 기준을 찾는 데 걸린 시간을 남겨 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 미분계수의 정의를 복습하세요. 극한식의 기준점과 증분을 먼저 표시하고 분모의 배율을 맞추세요(1·4번 대비).
2. 다항함수의 미분과 곱의 미분법을 정확히 적용하세요. 속도와 가속도에서는 주어진 값이 어느 단계의 입력으로 쓰이는지 표시하세요(3·7·8번 대비).
3. 도함수의 부호표와 그래프를 함께 그리세요. 극점과 끝점의 비교에서 출발해 양의 실근과 공통 접선 조건으로 확장하세요(5·6·9·10번 대비).
4. 연속성과 도함수의 항등식을 조건식으로 바꾸세요. 분모의 실근, 계수 비교, 근의 대칭성을 각각 확인하는 연습이 필요합니다(2·11번 대비).
5. 이동 구간과 그래프 변형을 집중 연습하세요. 최대·최소 후보와 식이 바뀌는 경계를 먼저 정리하고 교점 개수와 좌우극한을 확인하세요(13·14·15·16·17번 대비).
6. 도형 조건을 길이·넓이 또는 접선의 방정식으로 옮기는 연습을 하세요. 수선과 닮음, 중근 조건을 선택한 이유까지 짧게 설명하세요(12·18번 대비).