진선여자고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

진선여자고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

진선여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 도함수를 이용한 함수의 성질과 방정식 해석, 부정적분과 정적분, 넓이와 운동을 다루는 정적분의 활용입니다. 미분과 적분을 따로 외우는 것보다 두 개념을 연결해 사용하는 준비가 필요합니다.

초반에는 적분 구간의 연결, 극값 조건, 증가 조건처럼 풀이의 출발점이 비교적 분명한 문항이 배치돼 있습니다. 이후에는 주어진 함수가 아닌 새로 정의된 함수의 변화나 교점 개수를 해석해야 합니다. 식을 얻었다고 바로 계산을 밀어붙이면 경우를 빠뜨릴 수 있는 시험입니다.

서술·단답형도 뒤로 갈수록 요구하는 사고가 달라집니다. 부정적분과 미분계수의 관계를 확인하는 문항에서 출발해, 도형의 부피를 함수로 만드는 문항과 미분가능성 조건을 넓이에 연결하는 문항으로 이어집니다. 기본 문항을 정확히 마무리하는 힘과 복합 조건을 정리하는 힘을 함께 준비하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 어려움 구간

자동 분류 기준에서 쉬움은 1·5·17번입니다. 적분 구간의 성질, 두 곡선 사이 넓이, 다항식의 부정적분을 점검합니다. 각각 적분 방향, 위아래 곡선의 순서, 적분상수라는 기본 확인 사항이 있어 쉬움으로 분류됐더라도 검산을 생략해서는 안 됩니다.

보통 문항에서는 극값 조건을 연립식으로 옮기거나, 미분한 식의 부호로 증가 조건을 정리하는 능력이 필요합니다. 6번의 교점 해석과 7번의 운동 해석은 뒤의 복합 문항에 필요한 그래프 사고를 점검하는 연결 구간입니다.

8~16번은 자동 분류상 모두 어려움입니다. 적분 계산만 연속되는 구간이 아니라 대칭성, 교점 개수, 절댓값, 역함수, 연속성 등 서로 다른 해석을 요구합니다. 17~19번으로 넘어가 해결 가능한 문항을 확보한 뒤 돌아오는 계획을 세워 두는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수의활용 중심, 적분에도 필요한 부호 해석

도함수의활용은 극대·극소와 증가·감소뿐 아니라 실근 및 교점의 개수까지 폭넓게 묻습니다. 3·4번의 기본 조건 해석이 8·9·13·16번에서 대칭성이나 역함수, 개수 함수의 해석으로 확장됩니다. 단원명만 보고 비슷한 풀이를 반복하기보다 조건을 어떤 대상으로 옮기는지 구분하세요.

정적분에서는 적분 구간의 성질과 대칭성을 바탕으로 절댓값이나 변수 끝점이 붙은 함수를 다룹니다. 10·12·14번은 적분을 수행하는 능력에 더해, 미분한 식의 부호와 원래 함수의 변화를 연결하는 능력이 필요합니다. 원시함수부터 구하는 습관만으로는 풀이 방향을 잡기 어렵습니다.

정적분의활용은 곡선 사이 넓이와 운동에서 시작해 연속성·미분가능성을 함께 해석하는 문항으로 이어집니다. 반면 부정적분은 17·18번에서 기본 관계를 확인합니다. 학습 시간을 배분할 때는 기본 적분 계산을 먼저 안정시킨 뒤 함수의 부호와 근의 성질을 읽는 연습으로 넘어가세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류상 어려움에 속하며, 분석상 고난도 문항으로 살펴볼 만합니다. 공통적으로 계산식보다 조건을 해석하는 기준을 먼저 세워야 합니다. 풀이를 복습할 때에도 계산을 재현하는 데서 끝내지 말고, 어떤 조건이 다음 경우를 제외했는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~7번에서 풀이 방향이 잡히는 문항을 마무리하고, 막히는 문항은 필요한 조건을 적은 뒤 표시해 두세요. 8~16번의 연속된 어려움 구간을 순서대로 끝내려 하면 뒤쪽 문항을 읽을 기회를 잃을 수 있습니다. 전체 시험 시간을 확인한 뒤 서술·단답형을 살필 시점을 미리 정하는 것이 좋습니다.

17~19번은 기본 적분, 미분계수, 최댓값 판단을 점검하므로 20·21번과 묶어 모두 어렵다고 생각하지 마세요. 서술·단답형에서는 구한 식만 쓰기보다 적용한 조건과 부호 판단의 근거를 함께 정리하세요. 20번의 도형 관계를 세우는 시간과 21번의 조건 해석 시간을 따로 남겨 두세요.

검토할 때는 4번의 판별식 경계, 6번의 교점 위치, 11번의 평행이동 후 적분 구간, 13번의 치환 구간, 16번의 닫힌구간 끝점을 우선 확인하세요. 넓이 문항에서는 정적분의 부호와 넓이를 구별하고, 극값 문항에서는 도함수의 영점 전후로 부호가 바뀌는지 다시 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 적분의 기본 성질과 계산을 정리하세요. 구간 연결, 우함수·기함수, 적분상수, 미분계수의 정의를 설명하며 풀어 보세요(1·2·17·18번 대비).
2. 도함수의 부호표를 직접 작성하세요. 극점 조건, 전체 증가 조건, 전체 최댓값을 구분하고 각 결론의 근거를 적으세요(3·4·8·19번 대비).
3. 교점 개수와 매개변수 조건을 수평선 이동으로 연습하세요. 극값 높이와 경계에서의 개수를 분리하고 역함수 조건까지 확장하세요(6·9·13번 대비).
4. 적분으로 정의된 함수를 미분해 해석하세요. 절댓값을 벗길 구간과 도함수의 부호가 바뀌는 지점을 먼저 표시하세요(10·11·12·14번 대비).
5. 근의 중복도와 연속성·미분가능성을 연결하세요. 이동 구간의 끝점과 좌우 극한도 따로 표로 정리하세요(15·16·21번 대비).
6. 운동과 도형을 한 변수의 함수로 만드는 연습을 하세요. 위치 차의 부호, 길이의 허용 범위, 최대 여부를 설명한 뒤 이 시험을 시간을 재며 다시 풀어 보세요(5·7·20번 대비).