청담고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

청담고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

청담고등학교의 지역 정보는 서울 서초구로 등록되어 있습니다. 이번 시험의 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한 계산에서 출발해 연속의 조건, 미분의 정의, 접선과 평균값 정리로 이어지는 구성입니다.

기본 연산을 다룬 문항과 개념을 다른 표현으로 바꾸는 문항이 함께 있습니다. 무리식은 유리화로, 무한대에서의 극한은 차수 비교로, 접선의 조건은 접점에 대한 방정식으로 옮겨야 합니다. 식을 전개하기 전에 어떤 조건을 먼저 쓸지 정하는 습관이 풀이를 짧게 만듭니다.

서술·단답형에는 명제 판단과 추론, 사잇값의 정리, 미분의 정의, 평균값 정리가 들어 있습니다. 계산 결과만 적는 연습으로는 충분하지 않습니다. 적용할 정리의 가정을 밝히고 그 가정이 이 함수와 구간에서 성립하는 이유를 이어 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 마지막에 모인 어려움 문항

쉬움 문항은 초반의 1·2·4번과 서술·단답형의 20번입니다. 1번은 유리화, 2번은 그래프에서 함숫값과 한쪽 극한 구별, 4번은 미분 공식의 적용을 확인합니다. 20번도 자동 분류 기준 쉬움이지만 정의에 따른 과정을 써야 하므로 공식으로만 계산하는 습관을 점검하세요.

보통 문항은 시험 전반에 넓게 놓여 있습니다. 특히 9·10번은 극한 조건을 함수와 도함수의 정보로 바꾸어야 하고, 12·13번은 접선과 할선의 기하적 의미를 읽어야 합니다. 자동 분류의 보통이라는 표현을 단순 대입만 필요한 문제로 받아들이면 준비 범위를 좁히게 됩니다.

14~16번에서는 식을 세우는 단계가 길어집니다. 넓이를 좌표로 표현하거나 주기와 경계 조건을 연결하고, 그래프의 가지별로 교점 존재를 나누어야 합니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 후반 객관식에서 막히더라도 서술·단답형을 확인할 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 가장 많은 비중을 차지하며 계산과 논리가 함께 출제됩니다. 1·7번의 무리식 변형, 8번의 극한으로 정의된 함수, 9번의 다항식 결정이 서로 다른 접근을 요구합니다. 17번에서는 극한 성질을 명제의 형태로 검토하고, 18번에서는 함수 사이의 관계를 필요한 비율로 바꾸어야 합니다.

미분계수와도함수는 공식 계산에서 정의와 그래프 해석으로 확장됩니다. 6번은 미분 뒤 수열의 합을 정리하고, 10번은 변형된 차분몫을 미분계수로 읽습니다. 13번은 기울기의 대소를 그래프에서 판단하며, 15번은 주기함수의 경계에서 연속과 미분가능성을 연결합니다.

함수의연속에서는 분모의 영점, 구간별 정의, 교점의 존재를 구별해야 합니다. 19번의 사잇값의 정리는 21번의 평균값 정리와 함께 가정을 정확히 서술하는 연습으로 묶을 수 있습니다. 도함수의활용은 문항 수만 보고 뒤로 미루기보다 접선의 방정식과 정리의 의미를 확실히 익혀 두세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 극한이나 미분 계산에 들어가기 전에 기하적 위치와 접합 조건을 정리해야 한다는 점입니다. 풀이 첫 줄에 좌표의 부호, 기본 구간, 그래프의 가지를 적어 두면 되돌아가는 계산을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·4번처럼 출발점이 분명한 문항을 확보하고 보통 문항으로 이어 가세요. 7번의 유리화나 10번의 차분몫 변형이 길어지면 필요한 관계식까지만 적고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 14~16번을 모두 끝내야 서술·단답형으로 넘어갈 수 있다고 생각하지 말고 전체 문항을 훑어 접근 순서를 정하세요.

서술·단답형은 문제를 읽을 때 요구하는 답안의 형식부터 표시하세요. 17번은 명제에 대한 판단을 뒷받침하는 추론이 필요하고, 19·21번은 정리의 내용과 적용 과정이 중요합니다. 20번은 미분 공식을 아는 것과 정의를 이용해 보이는 것이 다르므로 차분몫을 세우는 줄부터 빠뜨리지 않도록 연습하세요.

검토할 때는 결과를 다시 계산하기보다 빠진 조건부터 찾으세요. 3번은 분모가 정의되는지, 5번은 함수값과 양쪽 극한을 모두 맞췄는지, 12번은 접선의 개수 조건을 정확히 옮겼는지 확인하세요. 16번은 경계 포함 여부, 19번은 구간 전체의 연속성, 21번은 구한 후보가 열린구간에 들어가는지를 마지막에 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 차수 비교를 먼저 정리하세요. 식을 바꾸는 이유를 설명하고 극한을 구하는 변수와 고정된 변수를 구별해 보세요(1·7·8번 대비).
2. 그래프의 함숫값, 좌극한, 우극한을 각각 표시하세요. 분모의 영점과 구간별 함수의 접합 조건까지 이어서 연습하세요(2·3·5번 대비).
3. 극한 조건으로 다항식의 차수와 인수를 정하는 연습을 하세요. 함수 사이의 관계를 목표한 비율로 바꾸는 문제도 함께 풀어 보세요(9·18번 대비).
4. 미분 공식과 정의를 번갈아 사용하세요. 변형된 차분몫에서 증가량의 배수를 표시하고, 미분 뒤 필요한 합의 구조까지 확인하세요(4·6·10·20번 대비).
5. 할선과 접선의 기울기를 그림으로 설명하세요. 접점의 매개변수로 접선의 방정식을 세우고 경계에서는 연속과 미분가능성을 구별하세요(11·12·13·15번 대비).
6. 도형의 넓이와 교점 존재를 식으로 옮겨 보세요. 좌표 부호와 점근선, 정의역의 끝점을 표시한 스케치에서 경우 구분을 시작하세요(14·16번 대비).
7. 명제의 가정과 결론을 분리하고 정리의 적용 조건을 문장으로 쓰세요. 조건 확인, 계산, 구간 검토가 이어지는 답안을 작성해 보세요(17·19·21번 대비).