청담고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

청담고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

제공 자료의 지역 정보는 서울 서초구입니다. 확인되는 출제 단원은 유리함수, 무리함수, 함수, 집합, 순열조합입니다. 함수 그래프의 성질과 경우의 수가 중심이며, 집합의 원소 선택을 세는 문제도 포함되어 있습니다.

함수에서는 점근선이나 평행이동을 확인하는 기본형에서 출발해 역함수, 직선과의 위치 관계, 정의역과 치역을 함께 해석합니다. 그래프에서 얻은 조건을 방정식으로 옮기는 능력뿐 아니라, 계산한 후보가 처음 조건을 만족하는지 되짚는 능력이 필요합니다.

경우의 수에서는 순열·조합 기호의 계산과 여사건부터 좌석 배치, 격자점으로 만드는 삼각형, 공의 분배까지 다룹니다. 공식을 먼저 고르기보다 무엇을 구별하고 어떤 배치를 금지하는지 적어 보세요. 같은 단원 안에서도 문제의 구조에 맞춰 세는 방법을 바꾸어야 합니다.

난이도 분포 — 중반의 경우 분류와 후반의 함수 해석

초반은 1번을 제외하면 2~7번이 보통으로 분류됩니다. 역함수의 범위, 제곱 과정의 조건, 그래프의 가지별 성질을 읽는 구간입니다. 보통이라는 분류만 보고 식을 곧바로 전개하면 부호나 정의역 확인을 놓치기 쉬우므로 간단한 그래프를 함께 그려 보세요.

8번 다음에는 쉬움인 9~11번이 이어집니다. 8번의 도형 조건에서 오래 막히더라도 다음 문항의 접근 가능성은 따로 판단해야 합니다. 중반의 어려움 문항은 함수의 대응 구조, 이웃 조건, 일직선 위의 점, 같은 색 공의 구별 여부처럼 계산 전에 분류 기준을 세워야 하는 유형입니다.

서술·단답형은 17·19·20·21·22번으로, 객관식 뒤에 한꺼번에 모여 있지 않습니다. 19·20번은 어려움이지만 21번은 쉬움, 22번은 보통입니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 조건 연결

가장 많은 순열조합은 단순 계산만으로 준비하기 어렵습니다. 9~11번에서 기호와 기본 원리를 확인한 뒤 13·15·16번에서 조건을 분해하는 단계로 넘어갑니다. 특히 15번은 전체 선택에서 삼각형이 되지 않는 경우를 빠짐없이 빼야 하므로 도형 조건과 조합 계산을 함께 연습해야 합니다.

유리함수는 점근선에서 정의역·치역을 만족하는 일대일대응까지 확장됩니다. 6·7번의 최댓값·최솟값 판단과 8번의 직사각형 조건은 그래프를 다른 관점으로 읽도록 요구합니다. 무리함수는 역함수와 대칭성, 근호의 범위가 후반의 거리 최적화로 연결됩니다.

함수로 분류된 12번도 대응 관계를 나눈 뒤 경우의 수를 세는 문제입니다. 집합의 17번 역시 반드시 선택할 원소와 자유롭게 선택할 원소를 나누어 셉니다. 단원별 공식 암기와 함께 조건에 따라 대상을 묶고 분리하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합은 줄고 유리함수는 늘어난 구성

작년과 올해의 과목은 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 줄었지만 쉬움도 줄고 보통은 늘었습니다. 이 변화만으로 모든 학생에게 편해진 시험이라고 단정하기는 어렵습니다. 기본형에서 한 단계 더 나아간 조건 해석을 안정적으로 처리하는 준비가 필요합니다.

순열조합은 작년 13문항에서 올해 9문항으로 줄었고, 유리함수는 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 무리함수는 두 해 모두 5문항입니다. 작년의 어려움에는 후반 22·23·24번이 포함되지만, 올해는 19·20번 뒤에 쉬움과 보통 문항이 이어집니다. 다음 시험 대비에서는 경우의 수와 함수 양쪽을 준비하고 시험 전체를 훑어 풀이 순서를 정하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리와 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 대상을 다시 표현하는 과정이 중요합니다. 제외할 직선, 그래프의 가지, 대칭인 점처럼 풀이를 단순하게 만드는 구조를 먼저 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 1번과 9~11번처럼 기본 개념으로 출발할 수 있는 문제를 확보하세요. 8번에서 도형 배치를 정하지 못했다면 표시하고 다음 구간을 확인하는 편이 좋습니다. 어려움 문항에서도 식을 세우기 위한 조건이 정리되지 않으면 계산을 반복하기보다 다음 접근 가능한 문항을 찾으세요.

서술·단답형에서는 21번의 증명과 22번의 배열도 미리 확인하세요. 19·20번을 끝내야만 뒤를 볼 수 있다고 생각하면 풀이 가능한 문항을 남길 수 있습니다. 풀이에는 대칭을 쓰는 이유, 치환 변수의 범위, 선택과 배열을 나눈 근거를 짧게 남겨 계산 과정의 연결을 분명하게 하세요.

검토할 때는 4번의 제곱 전 부호, 5번의 사분면 경계, 16번의 같은 색 공, 18번의 치역 전체 충족 여부를 우선 확인하세요. 20번은 좌표축까지의 거리를 좌표의 부호에 맞게 표현해야 합니다. 연습에서는 조건을 읽는 시간과 계산하는 시간을 따로 살펴 어느 단계에서 지연되는지 확인해 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합의 뜻과 곱의 법칙, 여사건을 복습하세요. 숫자 배열의 앞자리 제한과 대표 선발의 순서 구별 여부를 말로 설명해 보세요(9·10·11번 대비).
2. 유리함수는 점근선과 중심을 먼저 표시하고 평행이동, 사분면, 가지별 범위를 연결하세요(1·5·6·7번 대비).
3. 무리함수와 역함수의 정의역·치역을 나란히 적으세요. 그래프 이동과 교점 조건을 식으로 옮긴 뒤 제곱 과정의 조건을 검사하세요(2·3·4번 대비).
4. 경우의 수는 실제 이웃 관계, 구별되는 대상, 금지된 선택을 먼저 정리하세요. 분류가 서로 겹치거나 빠지지 않는지 작은 배치 그림으로 점검하세요(12·13·15·16번 대비).
5. 선택과 배열을 분리하고 같은 대상을 다르게 세는 증명을 연습하세요. 집합의 필수 선택과 자유 선택, 카드 사이의 틈도 함께 정리하세요(14·17·21·22번 대비).
6. 함수와 도형의 결합 문제에서는 좌표·대칭·정의역 중 무엇이 계산을 줄이는지 찾아보세요. 마지막에는 얻은 후보를 원래 조건으로 검증하세요(8·18·19·20번 대비).