방산고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

방산고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 합성함수와역함수, 절대부등식, 유리함수, 무리함수, 함수, 순열조합입니다. 함수의 식을 계산하는 기본형부터 대응 조건과 교점 개수, 이웃 관계를 해석하는 문항까지 포함되어 있습니다.

초반에는 합성함수와 역함수를 연속해서 다루지만 요구하는 사고는 서로 다릅니다. 대입 순서를 확인하는 문항에서 시작해 역함수의 존재 조건, 역으로 입력을 추적하는 과정, 유한집합에서의 대응 결정으로 확장됩니다. 단원 이름이 같다고 같은 풀이를 반복할 수 있는 구성은 아닙니다.

중반에는 유리식과 무리식의 계산 및 그래프 해석이, 후반에는 순열조합과 함수의 개수 문제가 이어집니다. 서술·단답형은 부등식 증명과 그래프의 교점, 이웃하지 않는 선택을 다룹니다. 계산 결과만 적기보다 조건을 어떻게 분류했는지 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간의 어려움 문항과 후반의 조건 해석

쉬움 문항은 특정 구간에만 모여 있지 않습니다. 5번에서 막혀도 바로 뒤의 6·7번을 확인할 필요가 있고, 후반의 14·15번과 서술·단답형 20번도 기본 개념을 활용할 수 있는 문항입니다. 서술형이라는 형식만 보고 마지막까지 미뤄 두면 확보할 수 있는 문제를 놓칠 수 있습니다.

보통 구간은 단순 대입보다 개념 사이의 연결이 요구됩니다. 8번은 유리화 뒤 항의 소거를, 9번은 유리함수 그래프에서 얻은 정보를 무리함수로 옮기는 과정을, 11번은 거리와 부등식의 연결을 다룹니다. 익숙한 공식이 보여도 정의역이나 부호 조건을 확인한 뒤 적용하세요.

어려움 문항에서는 가능한 대응의 제한, 여러 점근선 조건의 결합, 반복 합성의 구조, 색의 사용 조건 등이 부담을 만듭니다. 21·22번은 경우를 나누는 기준을 잡는 데 시간이 걸릴 수 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 개별 학생의 체감 난도나 실제 응시 결과를 뜻하지 않습니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수 조건의 연결

가장 많은 순열조합은 기호와 공식의 확인에서 시작해 조건부 배열, 색칠, 이웃하지 않는 선택으로 확장됩니다. 14·17번은 기호의 정확한 의미를, 16번은 배치 방법의 차이를 확인하는 데 적합합니다. 19·22번을 준비하려면 식을 세우기 전에 무엇을 같은 경우로 보고 무엇을 구별하는지 정해야 합니다.

함수 영역은 단원별 경계보다 연결에 주목하세요. 합성함수와역함수의 5번과 함수의 18번은 모두 유한집합의 일대일대응을 활용하지만, 전자는 대응값을 결정하고 후자는 조건에 맞는 함수의 개수를 셉니다. 대응표와 화살표 그림을 함께 사용하면 합성 조건과 중복 금지의 의미를 읽기 좋습니다.

무리함수로 분류된 21번에는 유리함수와 직선의 위치 관계도 포함되어 있습니다. 유리함수의 11번은 절대부등식의 사고와 연결됩니다. 단원별 기본 문제를 푼 뒤에는 그래프에서 얻은 조건을 부등식으로 옮기고, 그 조건을 다시 원래 그래프에 대조하는 연습으로 이어 가세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산식을 세우기 전에 경우를 나누어야 한다는 데 있습니다. 각 경우가 겹치지 않는지, 모두 합치면 가능한 상황을 빠짐없이 포함하는지 설명하는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 대입과 기본 변형의 방향이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 5·12번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 다음 문항으로 이동하는 연습이 좋습니다. 14·15번과 20번까지 먼저 훑어 접근 가능한 문제를 확인한 뒤, 남은 시간을 대응 추적과 그래프 분류에 배분하세요.

서술·단답형에서는 20번의 증명 근거를 먼저 완결하고 21·22번의 경우 분류를 정리해 보세요. 21번은 그래프의 경계와 제곱 전 조건을, 22번은 가운데 칸의 선택 여부를 먼저 적으면 계산의 방향이 드러납니다. 연습할 때는 문제를 읽고 분류 기준을 세우는 데 걸린 시간도 따로 기록하세요.

마지막 검토는 계산을 전부 반복하기보다 조건 누락을 확인하는 데 쓰세요. 2번의 기울기 경계, 4번의 절댓값 부호, 7번의 분모 조건, 11번의 등호 성립 가능성을 점검하세요. 18·19·22번에서는 같은 배치를 중복해 셌는지, 구별해야 할 대응이나 배정을 빠뜨렸는지 확인하는 것이 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성 순서와 역함수의 입력·출력 교환부터 정리하세요. 역함수 전체를 구하지 않고 함숫값 관계만 바꿔 푸는 연습도 하세요(1·2·3·4번 대비).
2. 유리식의 인수분해와 무리식의 유리화를 복습하세요. 계산이 끝난 뒤 원래 정의 조건과 합의 경계 항을 확인하세요(7·8번 대비).
3. 함수 그래프의 점근선, 시작점, 정의역과 치역을 묶어 연습하세요. 그래프 정보에서 식을 정한 뒤 평행이동과 합성으로 연결하세요(9·10·12·13번 대비).
4. 부등식은 적용 조건과 등호 조건을 함께 쓰세요. 거리의 최솟값과 양변의 차를 이용하는 증명까지 확장하세요(6·11·20번 대비).
5. 순열·조합의 기호를 정의로 확인하고 조건부 배열을 비교하세요. 색칠에서는 인접 관계와 실제 사용한 색을 분리해 정리하세요(14·15·16·17·19번 대비).
6. 유한집합의 함수는 대응표와 화살표 그림으로 연습하세요. 출력의 중복 금지와 반복 합성의 순환 구조를 구별하세요(5·18번 대비).
7. 서술형은 경우를 나누는 기준을 먼저 적고 풀이하세요. 교점 문제의 경계 검토와 이웃하지 않는 배치의 선택·배정 구분을 집중적으로 연습하세요(21·22번 대비).