영파여자고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

영파여자고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 시험의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 그래프를 읽는 능력에서 출발해 조건이 붙은 대응과 경우의 수를 다루는 범위입니다.

초반에는 약수의 개수, 같은 함수의 판단, 역함수 구하기, 합성함수 대입처럼 기본 절차를 확인합니다. 중반부터는 색칠 순서와 대진표의 중복, 반복 합성의 규칙처럼 계산 전에 구조를 파악해야 하는 문제가 이어집니다. 공식 암기와 조건 해석을 함께 준비해야 합니다.

후반에서는 그래프의 교점 조건, 거리의 최솟값, 일대일대응의 순환 구조가 중요합니다. 서술·단답형에서도 함수식 복원과 공역 확인, 지불 방법의 분류가 필요합니다. 계산 결과만 적는 연습에서 벗어나 어떤 조건 때문에 그 방법을 쓰는지 설명하는 연습을 하세요.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 14번의 교점 조건에 주의

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 문항은 1~5번과 8번에 있으며, 함수식의 대입이나 정의역·치역의 기본 원리를 확인합니다. 특히 8번은 식 대신 그래프에서 합성의 흐름을 읽으므로, 계산형 기본 문제만 풀었다면 같은 분류라도 낯설 수 있습니다.

보통 문항은 시험 전반에 걸쳐 있습니다. 6·7번의 경우의 수에서 막혔다고 뒤 문항도 비슷하게 어렵다고 판단하지 마세요. 9번의 반복 합성, 12번의 증명 과정, 13번의 사분면 판단은 필요한 출발점이 서로 달라 접근 가능한 문항부터 처리할 수 있습니다.

어려움인 14번은 그래프를 나누고 각 부분의 교점 조건을 다시 결합해야 합니다. 이후 15~19번은 보통으로 분류되어 있으므로 14번에 시간을 모두 쓰지 않는 것이 좋습니다. 분류만으로 실제 체감 난도를 확정할 수는 없으며, 보통 문항에서도 풀이의 근거를 찾는 시간이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합과 합성함수·역함수의 비중

순열조합은 단순 계산부터 상황 해석까지 폭이 넓습니다. 1번은 소인수의 지수를 고르는 곱의 법칙, 6번은 인접 영역의 색 제한, 7번은 대진표의 중복을 다룹니다. 10번의 여사건, 11번의 크기 순서, 19번의 보유량 제한까지 각각 어떤 조건을 먼저 반영할지 설명할 수 있어야 합니다.

합성함수와역함수는 식·그래프·유한집합의 대응을 모두 다룹니다. 4번과 8번으로 합성의 방향을 익힌 뒤 9번의 반복 규칙, 16번의 순환 구조로 확장하세요. 18번은 역함수의 존재를 기울기만으로 판단하지 않고 치역과 공역이 일치하는지까지 확인해야 합니다.

그래프 단원은 문항 수만 보고 가볍게 다루기 어렵습니다. 무리함수의 14번에는 자동 분류 기준 어려움이 배치되어 있고, 17번은 역함수 관계와 연결됩니다. 유리함수의 13·15번은 점근선과 사분면, 거리와 최솟값으로 이어져 기본 그래프를 다른 조건에 활용하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 풀이의 연결 과정에 주목해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준으로는 14번만 어려움이며 15·16번은 보통입니다. 공통적으로 주어진 표현을 그래프의 부분, 거리, 대응 관계로 바꾸어야 하므로 계산 전에 문제의 구조를 짧게 적는 연습이 효과적입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 익숙한 보통 문항을 먼저 처리하세요. 6·7번에서 경우의 수가 정리되지 않으면 표시한 뒤 8번 이후를 확인하고 돌아오세요. 14번은 그래프를 나누는 데 시간이 필요하므로, 뒤의 서술·단답형까지 살펴본 다음 남은 시간을 배정하는 편이 좋습니다.

서술·단답형은 풀이의 출발 근거부터 남겨 두세요. 17번은 역함수 관계를 원래 함수로 바꾸는 과정, 18번은 치역과 공역을 맞추는 이유, 19번은 빠짐없이 경우를 나누는 기준이 중요합니다. 연습할 때는 계산 시간과 근거를 문장으로 정리하는 시간을 함께 확인하세요.

마지막 검토는 문항별 조건에 집중하세요. 7번은 같은 대진의 중복, 9번은 반복의 시작점, 14번은 근의 부호와 교점의 중복, 15번은 등호 조건을 확인합니다. 18번은 끝점의 포함 여부, 19번은 동전을 내지 않는 경우와 보유량 제한을 점검하면 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의역·치역과 같은 함수의 의미를 복습하세요. 식을 계산하기 전에 허용된 입력과 가능한 출력을 표시하세요(2·5번 대비).
2. 합성과 역함수를 식과 그래프로 번갈아 연습하세요. 합성의 안쪽부터 계산하고 역함수는 대응을 반대로 읽는 습관을 들이세요(3·4·8·17번 대비).
3. 곱의 법칙, 여사건, 순열과 조합의 선택 기준을 정리하세요. 순서를 구별하는 이유와 중복을 보정하는 이유를 말로 설명하세요(1·6·7·10·11·12번 대비).
4. 반복 합성은 입력의 이동을 표나 화살표로 나타내세요. 반복 구간이 시작되는 위치와 남은 원소의 대응까지 확인하세요(9·16번 대비).
5. 그래프의 조건을 방정식과 부등식으로 옮기세요. 점근선·절편·교점의 부호를 확인한 뒤 거리의 최솟값으로 확장하세요(13·14·15번 대비).
6. 서술형은 조건에서 결론까지의 근거를 짧게 이어 쓰세요. 치역과 공역의 일치, 보유량에 따른 경우 분류를 누락 없이 정리하세요(18·19번 대비).