방산고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

방산고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 그래프 판별부터 역함수의 성질, 그래프와 직선의 위치 관계, 조건이 있는 배열까지 다룹니다.

함수 영역에서는 하나의 표현을 다른 표현으로 옮기는 능력이 중요합니다. 역함수의 점을 원래 함수의 조건으로 바꾸고, 그래프의 대칭을 길이 관계로 연결하며, 교점 조건을 방정식으로 표현해야 합니다. 식을 얻은 뒤에도 정의역과 치환한 변수의 범위를 확인해야 풀이가 완성됩니다.

순열조합은 기호 계산만으로 끝나지 않습니다. 자리의 제한, 집단별 인원 구성, 빈 상자의 유무처럼 세는 대상을 먼저 분류해야 합니다. 서술·단답형도 21번의 기본 함수 확인과 22·23번의 조건 분류가 함께 있으므로, 마지막 구간을 모두 같은 부담으로 볼 필요는 없습니다.

난이도 분포 — 보통 문항 사이에 놓인 어려움 문항

쉬움 문항은 1·2·4·5·21번입니다. 함수의 정의, 부분분수, 숫자 배열, 순열 기호, 항등함수와 상수함수의 기본을 확인합니다. 익숙한 형식이라도 첫 자리의 제한이나 식을 약분할 수 있는 조건을 빠뜨리면 실수할 수 있습니다.

보통 문항은 시험 전반에 분산되어 있습니다. 9번은 일대일대응에서 구간별 치역을 맞추고, 14번은 교점의 좌표 관계를 도형의 넓이로 연결합니다. 계산량보다 조건을 읽는 순서가 중요하며, 보통으로 분류되었다고 모든 문항을 곧바로 풀 수 있다고 가정해서는 안 됩니다.

어려움은 11번에서 먼저 등장하고 후반에 이어집니다. 16번의 항상 성립하는 부등식, 18번의 주기적 그래프, 20번의 유한집합 위 대응처럼 서로 다른 사고가 필요합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 분류만으로 실제 응시자의 체감 난도를 확정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건 해석

순열조합은 4·5·8·12·13·17·19·23번입니다. 자연수 만들기에서 시작해 제자리로 돌아가지 않는 배열, 인원 분배, 삼각형의 조건, 여사건, 비인접 배열로 이어집니다. 문제마다 합의 법칙과 곱의 법칙 중 무엇을 적용할지 말로 설명한 뒤 식을 쓰는 연습이 효과적입니다.

합성함수와역함수는 3·6·10·15·20번입니다. 좌표 교환과 그래프 읽기뿐 아니라 합성 순서의 비교, 역함수가 존재하는 대응의 복원까지 포함합니다. 함수 단원의 9번과 연결해, 서로 다른 입력의 출력이 겹치지 않는 조건과 공역 전체를 채우는 조건을 함께 익히세요.

무리함수는 7·11·18·22번이며, 자동 분류 기준 어려움에 해당하는 11·18·22번이 포함됩니다. 유리함수의 14·16번도 직선과의 관계나 범위 전체에서의 조건을 다룹니다. 그래프를 그린 뒤 식으로 검증하는 습관이 두 단원의 응용 문제를 준비하는 공통 기반입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 순열조합 비중은 증가

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 두 해 모두 6문항이고, 쉬움은 7문항에서 5문항으로 줄고 보통은 9문항에서 12문항으로 늘었습니다. 어려움 수가 같다는 사실만으로 부담이 같다고 보기보다, 기본 문제를 처리한 뒤 중간 단계의 조건 해석을 얼마나 안정적으로 이어 가는지 점검해야 합니다.

순열조합은 6문항에서 8문항으로 늘었습니다. 합성함수와역함수는 5문항으로 같고, 무리함수는 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 함수는 1문항에서 3문항으로 늘었으며 유리함수는 3문항으로 같습니다. 다음 대비에서는 순열조합의 다양한 조건을 연습하되 함수의 정의와 대응 조건도 함께 복습하세요.

작년 어려움 문항은 5·12·18·19·21·22번이고 올해는 11·16·18·20·22·23번입니다. 올해는 어려움이 처음 나타나는 위치가 뒤로 옮겨졌지만, 여전히 객관식과 서술·단답형에 걸쳐 있습니다. 특정 번호부터 어렵다고 예상하기보다 전체를 훑고 접근 가능한 문항을 찾는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 전체를 한꺼번에 계산하기보다 구간이나 인원 구성으로 나누는 과정이 중요합니다. 경우를 나눈 기준을 먼저 쓰고, 합치기 전에 누락과 중복을 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 그래프 판별과 기본 계산처럼 출발점이 보이는 문제부터 처리하세요. 11번의 최솟값에서 길게 막히면 표시한 뒤 12·13번의 경우 분류를 확인할 수 있습니다. 객관식을 모두 풀고 나서 서술·단답형을 시작하기보다, 기본 함수 조건을 묻는 21번을 미리 확인해 풀이 시간을 확보하세요.

후반 문항은 계산 전 준비 시간을 의식적으로 써야 합니다. 16번은 부등식을 나눌 식의 부호와 그 식이 사라지는 끝점을 따로 적으세요. 18번은 한 주기의 그래프와 직선의 높이 비교를 먼저 정리하고, 20번은 대응표에 확정된 값과 남은 값을 표시하면 같은 후보를 반복해서 검토하는 일을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 연산보다 조건의 포함 여부를 먼저 보세요. 9번은 열린 끝점과 닫힌 끝점, 13번은 삼각형이 되지 않는 경계, 19번은 빈 상자 발생 조건이 중요합니다. 22번의 비만남 조건에서는 접하는 경우도 제외해야 하며, 23번은 사람을 뽑는 과정과 순서를 정하는 과정이 모두 반영되었는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 항등함수·상수함수를 설명하고, 구간별 치역으로 일대일대응을 확인하세요. 끝점의 포함 여부를 그림에 표시하는 연습부터 하세요(1·9·21번 대비).
2. 역함수의 좌표 교환과 합성 순서를 복습하세요. 그래프에서 값을 읽는 기본형을 익힌 뒤 유한집합의 대응표를 복원하는 유형으로 넓히세요(3·6·10·15·20번 대비).
3. 유리식은 통분과 부분분수부터 정리하고, 교점을 방정식으로 바꾸세요. 항상 성립하는 부등식에서는 구간 전체의 최댓값·최솟값과 예외가 되는 끝점을 확인하세요(2·14·16번 대비).
4. 무리함수는 정의역·치역과 대칭을 먼저 그리세요. 근호를 치환한 변수의 범위를 쓰고 거리의 최솟값과 직선의 비교점 조건을 연습하세요(7·11·22번 대비).
5. 경우의 수는 자리 제한과 집단별 선택을 분리해 설명하세요. 직접 분류하는 방법과 전체에서 제외하는 방법을 비교하고 비인접 배열로 연결하세요(4·5·8·12·13·17·19·23번 대비).
6. 주기적 그래프는 한 주기의 모양과 경계를 표시한 뒤 반복 구간별 교점을 세어 보세요. 마지막에는 교점 수로 정의한 함수와 원래 함수의 역할을 구분하세요(18번 대비).