잠일고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

잠일고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 순열조합, 무리함수, 유리함수, 합성함수와역함수, 함수입니다. 경우의 수를 구하는 문제와 함수의 식·그래프·대응 관계를 해석하는 문제가 함께 출제되어 있습니다.

초반에는 순열 기호, 약수의 개수, 같은 함수의 조건, 점근선처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 이어집니다. 중간에는 그래프의 이동을 거꾸로 추적하거나 교점 개수를 판단하는 과정이 들어갑니다. 후반에는 조건을 한꺼번에 적용하기보다 서로 겹치지 않는 경우로 나누는 능력이 중요해집니다.

따라서 기본 계산을 정확하게 끝내는 연습과 풀이의 기준을 설명하는 연습을 함께 해야 합니다. 경우의 수에서는 무엇을 먼저 선택하고 무엇을 배열하는지 구별하세요. 함수에서는 입력의 범위, 중간 함숫값의 범위, 최종 출력의 범위를 따로 적으면 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 후반에 모인 조건 해석 문항

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 많습니다. 다만 9번의 이웃하는 배열과 10번의 같은 크기 묶음 분할은 서로 다른 중복 처리 원리를 사용합니다. 익숙한 공식이 보이더라도 대상의 순서를 구별하는지부터 확인해야 안정적으로 풀 수 있습니다.

보통 문항인 11·13·14번은 함수의 표현을 바꾸는 과정이 핵심입니다. 그래프에서 식으로, 교점에서 방정식의 근으로, 합성 관계에서 역함수로 옮기는 연습이 필요합니다. 21번도 합성 전체를 전개하기보다 역함수가 뜻하는 대응을 되짚으면 계산을 정리할 수 있습니다.

15~19번은 모두 어려움으로 분류되어 있으며, 조합적 중복과 그래프의 예외 조건, 일대일대응을 다룹니다. 22·23번에서는 단조성과 구간 분할을 직접 정리해야 합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감 난도와 동일하다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 연결

순열조합은 기본 기호부터 묶음 배열, 분할, 조건에 맞는 카드 선택, 자리 배치까지 이어집니다. 특히 15·16·17번은 단순히 조합이나 순열 공식을 고르는 것으로 끝나지 않습니다. 같은 결과를 여러 번 세는 구조와 애초에 가능한 배치의 모양을 먼저 파악해야 합니다.

무리함수에서는 증가하는 그래프의 최대·최소, 무리식의 변형, 이동과 대칭, 직선과의 교점을 다룹니다. 유리함수에서는 점근선과 대칭 중심을 출발점으로 삼아 역함수와 사분면 조건까지 확장됩니다. 식을 정리한 뒤 간단한 그래프를 그려 결과의 의미를 확인하는 학습이 유용합니다.

함수와 합성함수와역함수는 정의를 정확히 적용하는지가 중요합니다. 4번은 주어진 정의역에서 같은 함수인 조건을, 19번은 유한집합의 일대일대응을 다룹니다. 22번에서는 구간 전체의 대응을, 23번에서는 합성 중간값에 따른 식의 변화를 확인해야 하므로 대응표와 구간 그림을 모두 연습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 기본 공식의 적용 뒤에 중복이나 예외를 다시 확인해야 한다는 것입니다. 계산 결과를 얻은 시점과 원래 조건의 검증을 마친 시점을 구별하는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형을 정확하게 처리하되, 11·13·14번에서 식을 바꾸는 데 시간이 길어지면 표시하고 다음 문제를 확인하세요. 객관식 15~19번의 부담이 크므로 이 구간을 모두 마쳐야 서술·단답형으로 넘어간다고 정하지 않는 편이 좋습니다. 20번의 틈에 넣기와 21번의 역대응은 먼저 접근할 수 있는지 살펴보세요.

경우의 수 검토에서는 9번의 묶음 내부 순서, 10번의 묶음 순서 중복, 16번의 조건 중첩을 구별하세요. 17번은 가능한 자리 선택의 근거를 먼저 정리해야 하며, 20번은 양 끝의 자리까지 포함해야 합니다. 같은 경우의 수 단원이라도 중복을 나누는 이유와 곱하는 이유를 말로 설명할 수 있어야 합니다.

함수 검토에서는 13번의 치환한 변수 범위와 18번의 퇴화 조건을 우선 확인하세요. 22번은 축이 정의역 내부에 들어오는지와 치역이 공역 전체를 채우는지를 함께 봐야 합니다. 23번은 구간 경계에서 같은 후보를 중복 기록하지 않았는지, 각 후보가 자신을 얻은 구간에 속하는지를 마지막에 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 계승·순열·조합과 곱의 법칙을 복습하세요. 약수의 개수도 소인수의 지수를 선택하는 과정으로 설명해 보세요(1·3번 대비).
2. 묶어서 배열하기와 틈에 넣기를 연습하세요. 묶음 내부의 순서, 묶음 자체의 순서, 양 끝의 자리 포함 여부를 따로 표시하세요(9·10·20번 대비).
3. 조건이 겹치는 경우의 수를 정리하세요. 일부를 먼저 정하는 방법과 자리 집합을 먼저 고르는 방법을 비교하고 중복 횟수를 설명하세요(15·16·17번 대비).
4. 함수의 정의와 대응표를 복습하세요. 유한집합의 일대일대응에서 출력의 중복을 막는 연습을 한 뒤 구간의 단조성과 끝점 대응으로 확장하세요(4·7·19·22번 대비).
5. 무리함수와 유리함수의 그래프를 식과 연결하세요. 시작점·점근선·대칭 중심을 표시하고 교점 판단에서는 변수 범위와 퇴화 예외를 확인하세요(2·5·6·11·12·13·18번 대비).
6. 합성과 역함수는 입력에서 출력까지 화살표로 나타내세요. 역대응으로 미지의 함숫값을 찾는 연습 뒤에 중간값에 따른 구간 분할을 추가하세요(8·14·21·23번 대비).