현대고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

현대고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

현대고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험은 순열조합, 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수를 다룹니다. 경우의 수의 선택과 배열부터 진리집합의 포함 관계, 여러 형태의 함수 그래프까지 준비해야 하는 구성입니다.

초반에는 조합의 의미, 전체집합 안의 진리집합, 대응을 따라가는 합성함수를 확인합니다. 이후에는 같은 개념을 여러 조건과 연결합니다. 명제의 참·거짓을 부등식으로 옮기거나 그래프의 대칭성과 평행이동을 함께 적용하는 식으로 풀이 단계가 늘어납니다.

객관식 후반에서는 식을 계산하기 전에 무엇을 비교할지 정해야 합니다. 특히 수평선과 그래프의 교점, 일대일대응에 따른 함숫값의 배치, 조건별 경우 분류가 중요합니다. 서술·단답형은 순열·조합 기호의 정의 조건부터 역함수, 구간 전체의 부등식, 명제의 부정까지 근거를 짧고 정확하게 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 구간인 1~3번은 순서의 유무, 전체집합의 제한, 합성 순서처럼 기본 정의를 정확히 적용하는 문항입니다. 짧게 해결할 수 있는 유형이지만, 조합을 순열로 계산하거나 합성 방향을 거꾸로 읽는 실수를 줄여야 합니다. 보통 구간의 4·5번도 사분면과 항등함수의 뜻을 식으로 옮기는 과정이 필요합니다.

6번에서 명제의 역과 포함 관계를 묻는 어려움 문항이 나온 뒤 7번은 보통으로 돌아옵니다. 이어지는 8~14번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 그래프 변환, 합성함수의 조건, 여러 제한을 가진 선택, 필요·충분조건을 번갈아 다루므로 한 단원 풀이 방식만 반복해서는 대응하기 어렵습니다.

서술·단답형의 15·16번은 보통, 17·18번은 어려움입니다. 따라서 객관식 후반에 시간을 모두 쓰기 전에 서술·단답형의 접근 가능한 문항을 확인할 필요가 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 같다고 단정할 수는 없지만, 후반부의 조건 해석을 위한 시간을 남겨 두는 운영은 중요합니다.

출제 단원 — 순열조합·명제·유리함수가 중심

순열조합은 기본 선택에서 조건부 배열, 수의 성질과 위치 제한을 함께 따지는 선택, 기호가 들어간 방정식으로 이어집니다. 1번의 조합 공식을 익히는 데서 멈추지 말고 7번에서는 선택과 배열을 구분하고, 10번에서는 조건을 통과한 경우를 중복 없이 세는 방법을 연습하세요.

명제는 2번의 진리집합에서 6번의 역, 11번의 필요·충분조건, 18번의 존재·전체 조건으로 확장됩니다. 유리함수 역시 4번의 사분면 판단에서 8번의 대칭과 절댓값, 14번의 구간별 그래프, 17번의 구간 전체에서 성립하는 부등식으로 이어집니다. 두 단원 모두 조건을 정확한 그림이나 포함 관계로 바꾸는 능력이 중요합니다.

합성함수와역함수는 대응을 읽는 기본형과 합성 조건을 다시 해석하는 유형을 함께 준비해야 합니다. 함수 단원의 13번은 일대일대응으로 가능한 함숫값을 제한하며, 무리함수의 12번은 결합된 그래프의 대칭성을 활용합니다. 단원별 공식 정리와 함께 그래프의 경계, 치역, 대응의 제약을 점검하는 연습을 병행하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건을 변환하고 경계를 검토하는 과정에 주목해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 세운 관계가 정확해야 뒤의 계산이 의미를 갖습니다. 포함 방향, 그래프 조각, 전체 구간 조건을 먼저 적고 계산 뒤에 경계에서 다시 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형의 계산을 정확하게 마치고 풀이 방향이 보이는 문항을 확보하세요. 6번의 포함 관계에서 막히더라도 7번의 경우 분류를 확인할 수 있습니다. 8~14번을 순서대로 모두 끝내려다 시간이 길어지면 15·16번을 먼저 살펴보고 돌아오는 연습을 권합니다. 실제 시험 시간을 임의로 정하기보다 연습 중 문항별 소요 시간을 기록해 자신에게 맞는 이동 기준을 세우세요.

서술·단답형에서는 계산 전 조건을 짧게 쓰는 것이 검토에도 도움이 됩니다. 15번은 순열·조합 기호의 정의 범위, 16번은 역함수와 좌표의 관계, 17번은 구간 전체에서 성립해야 하는 부등식, 18번은 명제의 부정을 먼저 적으세요. 풀이를 길게 늘이기보다 각 계산이 어떤 조건을 사용했는지 드러내는 방식으로 정리하세요.

마지막 검토는 끝점과 제외 조건에 집중하세요. 6·11번은 포함 관계의 방향과 닫힌 구간 여부, 8·14번은 분모가 영이 되는 입력과 점근선의 높이, 9번은 제곱 전 부호를 살펴야 합니다. 18번에서는 어떤 입력에서 성립한다는 조건과 모든 입력에서 성립한다는 조건을 바꿔 쓰지 않았는지 다시 읽어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 조합과 순열의 차이를 복습하고 선택 뒤 배열하는 단계를 구분하세요. 기호가 들어간 식은 정의 범위를 먼저 쓰는 습관을 들이세요(1·7·15번 대비).
2. 진리집합을 수직선에 표시한 뒤 명제의 역과 필요·충분조건을 포함 관계로 옮기세요. 부정이 있으면 여집합부터 정리하세요(2·6·11번 대비).
3. 함수의 대응과 일대일대응을 정리하고 합성 순서를 따라가세요. 반복 합성의 조건은 중간 함숫값을 두어 다시 해석해 보세요(3·5·9·13번 대비).
4. 유리함수의 점근선과 평행이동을 먼저 그리고 절댓값·구간 제한을 차례로 적용하세요. 수평선의 높이에 따른 교점 개수도 표로 정리하세요(4·8·14번 대비).
5. 수의 홀짝과 배수 조건으로 가능한 경우를 좁힌 뒤 위치 제한을 점검하세요. 중복과 누락을 확인할 수 있는 기준으로 쌍을 정리하세요(10번 대비).
6. 대칭 그래프의 교점과 역함수의 좌표 관계를 연습한 뒤 구간 전체의 부등식과 극값 문제로 확장하세요. 존재명제의 부정도 함께 복습하세요(12·16·17·18번 대비).