상문고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

상문고 1학년 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 순열조합, 무리함수, 유리함수, 함수, 집합입니다. 함수의 정의와 그래프를 읽는 기본 문제에서 시작해, 제한 조건을 만족하는 함수나 집합을 세는 문제까지 이어집니다.

순열조합은 독립된 계산 문제에만 쓰이지 않습니다. 함수의 개수에서는 함숫값의 간격이나 홀짝 조건을 배치 문제로 바꾸고, 집합에서는 포함 관계를 원소가 속할 영역의 선택으로 해석합니다. 단원 이름이 달라도 무엇을 하나의 경우로 셀지 먼저 정해야 한다는 공통점이 있습니다.

그래프 문항은 식을 변형하는 능력과 그림의 범위를 확인하는 능력을 함께 요구합니다. 무리함수의 시작점, 역함수와의 교점, 유리함수의 정의되지 않는 점을 따로 표시하세요. 계산으로 얻은 후보가 원래 함수의 조건을 만족하는지 확인하는 과정이 풀이의 마지막 단계입니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석에 대비

쉬움은 1~3번과 15번입니다. 합의 법칙, 유리함수의 점근선과 정의, 함수의 정의역처럼 기본 개념을 확인합니다. 서술·단답형인 15번도 쉬움으로 분류되므로 객관식이 끝난 뒤에야 뒤쪽을 살펴보는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

보통 문항은 4~7번과 9·16번입니다. 그래프의 성질을 여러 관점에서 판단하거나 색칠과 경로의 경우를 나누는 작업이 필요합니다. 8번에서 막히더라도 9번을 이어 확인하고, 조합의 성질을 다루는 16번까지 접근 가능한 문항을 찾아보세요.

10~14번과 17~20번에서는 조건을 바꾸어 표현하는 단계가 늘어납니다. 자동 분류 기준의 어려움은 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 함수의 배치, 집합의 포함 관계, 정수 범위의 경계를 정리하는 데 시간이 들 수 있으므로 계산 전에 풀이의 틀을 적는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 조건 연결

순열조합에서는 합의 법칙과 곱의 법칙을 구별하는 기본부터 계단의 높이와 폭을 정하는 11번, 순서 조건이 있는 분배를 다루는 18번까지 출제되었습니다. 공식 이름을 찾기 전에 서로 겹치지 않는 경우인지, 단계별 선택을 이어 붙이는 경우인지 설명할 수 있어야 합니다.

무리함수는 정의역과 그래프의 방향이 출발점입니다. 8번은 곡선으로 둘러싸인 영역을 대칭과 평행이동으로 비교하고, 10번은 무리함수에서 읽은 계수의 부호를 유리함수에 연결합니다. 17번에서는 증가성과 역함수의 관계를 이용한 뒤 교점 조건을 방정식으로 옮겨야 합니다.

함수 단원의 12·13·19번은 함수의 개수를 묻지만 조건을 정리하는 방식이 다릅니다. 간격을 줄이는 치환, 홀짝에 따른 자리 배치, 반복 합성의 고리 구조를 각각 구별하세요. 집합은 14번뿐이지만 포함 관계와 제외 조건을 함께 세어야 하므로 출제 수만 보고 학습을 생략하기 어렵습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 전체 구조를 정리해야 합니다. 제외 사건, 교점의 제한, 고리의 길이처럼 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 짧게 적고 풀이를 진행하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번의 기본 개념을 확인하고, 4~7번에서는 그래프의 시작점과 조건을 간단히 표시하세요. 8번의 넓이 대응이 바로 보이지 않으면 표시한 뒤 9번을 확인하는 것이 좋습니다. 객관식 후반의 어려움 문항에 오래 머무르기 전에 서술·단답형 15·16번도 살펴보세요.

경우의 수 문항에서는 계산 시간을 줄이기 위해 분류 기준을 먼저 적으세요. 11번은 높이 배열과 폭 분배, 13번은 홀짝 자리와 실제 값 배정, 18번은 분배 경계와 누적합 조건을 나누면 됩니다. 19번은 고리 구조를 그린 뒤 세기 시작하고, 풀이가 막히면 이미 센 경우와 아직 남은 경우를 구별해 두세요.

마지막 검토는 식의 전개보다 조건 누락을 중심으로 하세요. 7번은 축 위의 경계, 14번은 제외 사건의 중복, 17번은 제곱 전의 부호 조건이 중요합니다. 20번에서는 분모가 정의되지 않는 끝점을 제거하고, 부등식에 음수를 곱할 때 방향을 바꾸었는지 확인하세요. 서술·단답형에서는 이런 조건을 풀이에 함께 남기는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 정의역을 먼저 복습하세요. 유리함수의 범주, 분모 조건, 여러 근호 조건의 교집합을 말로 설명한 뒤 식으로 정리하세요(2·3·6·15번 대비).
2. 무리함수의 시작점과 그래프 방향을 반복해서 그리세요. 사분면과 역함수의 범위를 확인하고, 그래프에서 읽은 계수 부호를 다른 함수에 연결해 보세요(4·7·10번 대비).
3. 합의 법칙과 곱의 법칙을 구별하세요. 색칠 순서와 방문 순서에서 경우가 겹치는지 확인한 뒤, 높이 배열과 양수 분배를 결합하는 유형으로 확장하세요(1·5·9·11·16번 대비).
4. 함수의 개수를 값의 선택과 배치로 바꾸어 보세요. 간격 조건의 치환과 홀짝 자리 제한을 구별하고, 포함배제에서는 제외 사건의 교집합을 따로 세세요(12·13·14번 대비).
5. 무리함수의 넓이와 역함수 교점을 연습하세요. 대칭으로 대응하는 영역을 표시하고, 교점 방정식에서는 제곱 전 조건을 끝까지 유지하세요(8·17번 대비).
6. 후반의 구조 해석을 묶어 연습하세요. 순서가 있는 분배는 자르는 위치로, 반복 합성은 고리로, 제한된 교점은 정수 부등식으로 바꾼 뒤 누락과 중복을 검토하세요(18·19·20번 대비).