매원고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

매원고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

매원고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의역·치역과 그래프의 성질에서 시작해 조건이 붙은 배열과 분할까지 다룹니다.

함수 영역에서는 식을 변형하는 능력과 함께 정의역·공역의 의미를 구별해야 합니다. 일대일대응의 조건으로 끝점의 함숫값을 정하거나, 나머지로 정의한 함수에서 역함수의 존재 조건을 해석합니다. 유리함수와 무리함수는 점근선, 대칭성, 증가하는 성질을 활용해 도형이나 범위 조건으로 연결됩니다.

순열조합은 기호 계산만으로 마무리되지 않습니다. 구별되지 않는 용기에 나누어 넣기, 그래프 조건을 만족하는 주사위 결과 세기, 카드 추출이 멈추는 시점의 배열처럼 먼저 상황을 정리해야 하는 문항이 있습니다. 공식을 고르기 전에 무엇을 구별하고 어떤 조건에서 경우를 나눌지 적는 연습이 중요합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반의 1~4번 외에도 8·12·21번에 있습니다. 뒤로 갈수록 무조건 어려워지는 배열은 아닙니다. 11번에서 조건 정리가 길어져도 다음 문항을 확인하고, 서술·단답형이라는 이유로 21번의 기호 계산을 끝까지 미루지 않는 편이 좋습니다.

보통 구간에서는 역함수의 함숫값, 정의역·치역, 사전식 배열처럼 개념의 적용 순서를 확인합니다. 어려움 구간은 함수의 대응 관계, 분할의 중복, 도형의 넓이 등 서로 다른 조건을 연결해야 합니다. 자동 분류 기준은 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아니지만, 후반 풀이에서 조건 해석에 쓸 시간을 확보해야 한다는 점은 문항 내용으로 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 연결

가장 많은 순열조합은 합의 법칙과 순열·조합 기호부터 시작해 제한된 배열과 분할로 이어집니다. 18번은 같은 크기의 묶음을 구별하지 않는 처리가 필요하고, 19번은 그래프 조건을 먼저 해석해야 합니다. 단원 이름만 보고 계산 공식을 바로 대입하면 문제의 핵심 조건을 놓칠 수 있습니다.

합성함수와역함수에서는 대응을 거꾸로 읽는 기본기와 역함수가 존재하는 조건을 함께 준비해야 합니다. 함수 단원의 15번도 일대일대응의 개수를 세므로 경우의 수와 연결됩니다. 16번 역시 나머지별로 원소를 분류한 뒤 선택하는 구조여서, 함수와 순열조합을 분리해서만 연습하기 어렵습니다.

유리함수는 대칭 중심을 읽는 3번에서 출발해 17번의 넓이 최솟값과 22번의 도형 해석으로 확장됩니다. 무리함수는 정의역·치역을 이용한 식의 결정과 직사각형을 만나는 조건을 다룹니다. 그래프를 간단히 그리고 경계가 되는 위치를 표시하는 습관이 두 단원 모두에 도움이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 분포는 같고 단원별 배치는 변화

작년과 올해 모두 수학(하)이며, 자동 분류 기준 난이도별 문항 수와 전체 구성은 같습니다. 이 수치만으로 올해가 더 어렵거나 쉬웠다고 판단할 수는 없습니다. 순열조합은 모두 8문항이지만, 무리함수는 작년 4문항에서 올해 2문항으로 줄고 합성함수와역함수는 4문항에서 5문항, 함수는 3문항에서 4문항으로 바뀌었습니다. 유리함수는 모두 3문항입니다.

작년의 어려움 문항은 10~13번, 16번, 18~20번과 22번이며, 올해는 11·13번, 15~20번과 22번입니다. 서술·단답형은 두 해 모두 21번이 쉬움, 22번이 어려움으로 분류되어 있습니다. 올해는 순열조합의 18~20번이 어려움으로 이어지므로, 작년의 총량만 참고하기보다 올해 각 문항의 조건 처리 방식을 함께 연습하세요.

다음 시험 준비에서는 가장 많은 순열조합을 중심에 두되 함수의 대응과 그래프 해석을 함께 복습하는 편이 좋습니다. 특히 함수 조건을 만족하는 대상을 세는 유형과, 그래프의 위치를 부등식으로 바꾼 뒤 가능한 경우를 세는 유형을 연결해 연습하세요. 단원별 문항 수의 변화가 다음 출제 비중을 보장하는 것은 아닙니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 자동 분류 기준 어려움 중 풀이의 연결 단계가 뚜렷한 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 식을 계산하기 전에 도형의 구성이나 경우의 분류 기준을 정해야 하므로, 풀이 첫 줄에 그 기준을 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 대응을 바로 읽거나 기호를 정리할 수 있는 문항을 확보하세요. 11·13번에서 막히더라도 12·14번을 확인하고, 15~20번을 모두 푼 뒤 서술·단답형으로 넘어가려 하지 마세요. 21번의 풀이 구조를 먼저 확인해 두면 후반에서 남겨 둔 문항에 시간을 배분하기 쉽습니다.

함수 문항은 입력과 출력, 정의역과 공역을 구별해 표시하세요. 7번은 역함수 합성의 순서와 근호의 부호, 10번은 증가 조건과 정의역, 16번은 공역 전체가 빠짐없이 대응되는지를 확인해야 합니다. 그래프를 다루는 13·19번에서는 경계에 닿거나 축에 접하는 상황을 빼놓지 마세요.

경우의 수에서는 구별 여부와 순서의 의미를 마지막으로 검토하세요. 18번의 필통은 구별되지 않지만 20번의 카드 추출 순서는 구별됩니다. 서술·단답형 21번은 기호의 정의 조건과 약분 근거를, 22번은 대칭을 이용한 좌표 설정과 넓이 범위를 차례로 적어 계산의 출발점을 분명히 하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의역·공역·치역과 일대일대응의 뜻을 복습하세요. 유한집합의 대응표와 구간에서의 끝점 대응을 함께 연습하세요(1·5·11번 대비).
2. 역함수의 값을 원래 함수의 입력으로 되짚고 합성 순서를 표시하세요. 그래프에서는 좌표를 읽는 방향과 증가 조건도 확인하세요(6·7·8·10번 대비).
3. 순열·조합 기호와 합·곱의 법칙을 정리한 뒤 제한된 자리부터 배열하세요. 사전식 순위는 높은 자리별 묶음으로 세어 보세요(2·4·12·14·21번 대비).
4. 일대일대응의 개수를 전체에서 제외하는 방법과 나머지별 선택으로 구하는 방법을 비교하세요. 대응의 중복과 누락을 각각 검사하세요(15·16번 대비).
5. 무리함수와 유리함수의 정의역·치역·점근선·대칭을 스케치로 정리하세요. 그래프가 도형을 만나는 경계와 넓이의 표현으로 확장하세요(3·9·13·17·22번 대비).
6. 분할, 그래프 조건, 중단 조건이 있는 경우 세기를 연습하세요. 분류 기준을 먼저 쓰고 중복 제거와 경계 포함 여부를 확인하세요(18·19·20번 대비).