서초고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

서초고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

서초고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 단원은 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 명제입니다. 부등식의 성질과 경우의 수를 확인하면서 함수의 합성과 그래프 해석을 중심으로 구성된 시험입니다.

같은 함수 단원 안에서도 요구하는 판단이 다릅니다. 점근선으로 평행이동을 읽는 기본형에서 출발해 역함수의 합성 순서, 반복 합성, 구간별 함수의 치역으로 이어집니다. 식을 길게 전개하기 전에 대응 관계나 그래프의 형태로 바꿀 수 있는지 살펴보세요.

서술·단답형도 모두 같은 성격은 아닙니다. 19번은 귀류법의 논리, 20번은 역함수 조건을 만족하는 대응의 분류, 21번은 합성함수의 정의역과 치환을 다룹니다. 계산 결과를 적는 연습과 함께 풀이의 출발 조건과 경우를 나누는 근거를 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 그래프와 범위 해석

자동 분류 기준 쉬움은 초반의 1~4번과 서술·단답형 19번입니다. 부등식의 성립 조건, 함수의 판별, 유리함수의 평행이동, 무리식 계산이 기본 점검 대상입니다. 다만 쉬움으로 분류된 증명 문항도 가정과 모순을 문장으로 연결하지 못하면 풀이를 마무리하기 어렵습니다.

보통 구간인 5~13번은 단순 대입만으로 처리하기보다 적절한 구조를 찾아야 합니다. 산술평균과 기하평균의 적용 조건, 합성과 역함수의 순서, 카드 배열의 자리 제한, 색칠에서의 인접 관계를 확인하세요. 20번은 역함수 조건을 경우의 수로 바꾸는 연결이 필요합니다.

14~18번은 자동 분류 기준 어려움이 연속됩니다. 구간별 치역, 사분면 조건, 반복되는 합성 그래프, 도형의 최솟값처럼 출발점이 서로 달라 한 문항에 오래 머무르면 뒤 문제를 볼 시간이 줄어듭니다. 이 분포는 자동 분류 결과이며 응시자의 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 합성함수·역함수와 무리함수의 비중

가장 많은 합성함수와역함수는 계산 규칙과 범위 해석을 함께 요구합니다. 6번은 역함수의 합성 순서를 정리하고, 8번은 대응표를 따라 관계를 확장합니다. 14·16·21번에서는 각각 치역, 구간별 그래프, 합성 가능한 입력 범위를 확인해야 하므로 공식 암기만으로는 준비가 부족합니다.

무리함수는 자료의 단원 분류상 무리식 계산인 4번도 포함합니다. 10번의 정의역·치역과 역함수 제한에서 15·18번의 사분면 조건, 22번의 직선과 곡선의 위치 관계로 연결됩니다. 근호 안의 조건과 그래프 끝점을 먼저 표시하는 습관이 여러 문항에 공통으로 도움이 됩니다.

유리함수는 점근선, 치역, 반복 합성, 넓이의 최솟값을 다룹니다. 순열조합은 제한된 배열뿐 아니라 조합 기호가 계수인 방정식과 인접 영역 색칠을 포함합니다. 단원명만 보고 같은 방식으로 풀기보다 각 조건을 대응표, 식, 그림 중 무엇으로 정리할지 고르는 연습을 하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 함수의 합성과 무리함수로 옮겨간 중심

작년과 올해 모두 수학(하) 자료입니다. 자동 분류 기준으로 총 문항과 서술·단답형은 줄었지만 어려움은 늘고 쉬움은 줄었습니다. 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 낮아졌다고 보기는 어렵고, 후반의 조건 해석에 시간을 확보하는 준비가 필요합니다.

작년 순열조합은 6문항, 합성함수와역함수는 4문항이었고 올해는 각각 3문항과 6문항입니다. 무리함수는 4문항에서 5문항, 유리함수는 3문항에서 4문항으로 바뀌었습니다. 따라서 작년의 최대 비중 단원에만 맞추기보다 함수의 범위와 합성 구조를 우선 복습하는 편이 이번 구성에 맞습니다.

작년 어려움은 8·9·10·17·19·23번이었으나 올해는 14~18번과 21·22번에 놓였습니다. 중간에 나뉘어 있던 어려운 문항이 올해는 객관식 후반에 이어진다는 차이가 있습니다. 앞부분을 정확히 처리하고 서술·단답형을 먼저 훑은 뒤 후반 그래프 문제로 돌아오는 순서를 연습해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 난도 순위가 확정된 것이 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 일부 구간이나 끝점에서 얻은 정보를 전체 범위로 확장해야 한다는 점입니다. 그림에 구간과 경계를 표시하고 각 판단이 어디에서 성립하는지 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~13번의 기본 구조를 파악하고, 오래 걸리는 문항은 표시해 두세요. 14~18번에서 풀이가 길어지면 서술·단답형 19·20번도 확인하는 편이 좋습니다. 22번이 객관식이라는 자료상 구성을 기억하고 시험지 마지막까지 살펴보세요.

서술·단답형에서는 핵심 근거를 먼저 쓰세요. 19번은 반대 가정과 서로소 조건, 20번은 대응을 분류하는 기준, 21번은 합성 가능한 입력 범위를 출발점으로 잡으면 됩니다. 연습에서는 계산 시간뿐 아니라 조건을 정리하고 풀이를 쓰는 시간까지 포함해 점검하세요.

마지막 검토는 범위와 등호에 집중하세요. 10번은 역함수의 정의역, 17번은 사분면 조건과 부등식의 등호 성립, 18번은 축 위의 점 제외가 중요합니다. 21번에서는 치환 후 원래 입력을 복원했는지, 22번에서는 부호 확인 없이 제곱하지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 가정과 등호 조건부터 확인하세요. 반례를 찾는 연습과 양수 치환을 이용한 최솟값 연습을 함께 하세요(1·5번 대비).
2. 함수의 판별, 점근선, 무리식 계산을 복습하세요. 그래프의 기준점과 식의 정의 조건을 먼저 표시하세요(2·3·4번 대비).
3. 합성과 역함수는 적용 순서를 화살표로 정리하세요. 대응표와 반복 합성으로 계산을 줄이는 연습도 하세요(6·8·9·11번 대비).
4. 경우의 수는 제한된 자리부터 정하고 중복을 검사하세요. 조합 기호의 범위와 인접 조건, 짝의 순서를 구별하세요(7·12·13·20번 대비).
5. 그래프의 정의역·치역에서 사분면과 최솟값으로 확장하세요. 끝점과 부호 조건을 적은 뒤 부등식을 적용하세요(10·15·17·18번 대비).
6. 구간별 함수는 치역, 합성 그래프, 방정식 순으로 연결하세요. 치환한 값을 되돌리고 전체 구간에서 성립하는지 검토하세요(14·16·21·22번 대비).
7. 귀류법의 가정과 모순을 문장으로 쓰세요. 논리의 출발점과 결론이 연결되는지 직접 확인하세요(19번 대비).