배명고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

배명고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

배명고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 내용은 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합을 중심으로 항등식·복소수·여러가지부등식·도형의이동·집합·원의방정식·명제까지 이어집니다. 함수와 경우의 수를 집중적으로 준비하되 앞서 배운 계산과 도형 개념도 복습해야 하는 구성입니다.

초반에는 계수 비교, 복소수 계산, 평행이동, 역함숫값 해석처럼 기본 절차를 적용하는 문제가 나옵니다. 중후반에는 그래프의 교점 조건, 집합 사이의 함수 관계, 조건부 일대일함수의 개수처럼 표현을 바꾸어야 풀리는 문제가 배치됩니다. 같은 함수 단원이라도 단순 대입과 조건 추론의 차이가 큽니다.

서술·단답형에서는 무리함수의 그래프와 범위, 합성함수의 대칭성, 명제의 증명, 반복 합성, 물건의 분배를 다룹니다. 계산만 연습하기보다 왜 그 경우로 나누는지, 어떤 조건 때문에 후보를 제외하는지 짧게 설명하는 훈련이 필요합니다. 번호 순서대로 끝까지 밀기보다 해결 가능한 문항을 먼저 찾는 운영도 중요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반의 조건 해석

쉬움 문항은 초반에 많이 배치되며 10번과 서술·단답형 17번에도 있습니다. 기본형에서 시간을 줄이려면 전개나 대입을 빠르게 하는 것뿐 아니라 역함수의 입력과 출력, 합성 순서를 정확히 읽어야 합니다. 분류가 쉬움이어도 분모의 제한이나 그래프의 방향을 생략하면 실수가 생길 수 있습니다.

보통 문항에서는 절댓값의 구간 분류, 집합 원소 수의 범위, 접선 조건, 무리함수의 최대·최소처럼 판단 과정이 추가됩니다. 특히 15번은 직선의 수직 조건과 역함수 관계를 함께 사용하고, 19번은 증명 문장을 구성해야 합니다. 난이도 이름만 보고 풀이 시간이 짧을 것이라고 예상하지 마세요.

어려움 문항은 12·14·16·21번이며, 모두 자동 분류 기준입니다. 객관식 후반의 어려움 문항 사이에도 보통 문항이 있으므로 막힌 문제에 머물지 않는 편이 좋습니다. 실제 응시자의 체감 난도를 단정할 수는 없지만, 조건의 존재 여부와 경우 분류 기준을 먼저 찾는 연습이 후반 대응에 도움이 됩니다.

출제 단원 — 함수와 경우의 수가 중심

합성함수와역함수는 5·6번의 기본 대입에서 14번의 집합 사이 대응 관계, 18번의 이차함수 대칭성으로 확장됩니다. 유리함수도 7번의 함숫값에서 12번의 교점과 역함수 존재 조건, 15번의 점근선, 20번의 반복 합성까지 접근법이 다양합니다. 식을 구하는 연습과 조건을 해석하는 연습을 함께 해야 합니다.

순열조합은 합의 법칙과 음이 아닌 정수해에서 출발해 일대일함수 세기와 분배로 이어집니다. 특히 16·21번은 자동 분류 기준 어려움으로, 선택 가능한 대상을 단순히 곱하기 전에 중복 가능성과 물건의 구별 여부를 정해야 합니다. 무리함수와 그 밖의 단원은 정의역·치역, 증명, 접선 등 기본 개념을 빠짐없이 확인하는 복습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항 수는 같고 배치는 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같고 쉬움 문항이 늘었으므로, 어려움 문항 수가 증가한 시험이라고 해석할 근거는 없습니다. 다만 전체 문항과 서술·단답형이 늘어 기본 문항을 처리하는 속도와 풀이를 정리하는 시간을 함께 점검할 필요가 있습니다.

작년에는 순열조합이 가장 많았지만 올해는 합성함수와역함수·유리함수·순열조합이 공동으로 가장 많습니다. 무리함수의 문항 수는 줄고 합성함수와역함수와 유리함수는 늘었습니다. 작년의 어려움 문항은 13·17·18·19번, 올해는 12·14·16·21번이므로 객관식 후반의 조건 해석도 충분히 연습하세요. 공통 단원의 기본형을 복습한 뒤 올해의 함수 추론과 경우 분류 유형으로 확장하는 순서를 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 가능한 상황을 나누는 기준이 필요하며, 나눈 경우가 서로 겹치지 않고 전체를 포함하는지 검토해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 계수 비교와 기본 대입처럼 출발점이 분명한 문항부터 처리하세요. 12·14·16번에서 조건 정리가 길어지면 표시해 두고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형에도 17번처럼 기본 개념을 확인하는 문제가 있으므로 객관식을 모두 마칠 때까지 뒤쪽을 보지 않는 방식은 피하세요.

서술·단답형에서는 풀이의 기준을 먼저 적어 두세요. 17번은 정의역과 그래프 방향, 18번은 안쪽 함숫값과 대칭축, 19번은 증명 방법, 20번은 반복 구조를 짧게 정리하면 계산의 흐름이 분명해집니다. 21번은 경우를 나누는 기준을 쓴 뒤 각 경우를 계산해 빠뜨린 분배가 없는지 확인하세요.

마지막 검토는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건 누락에 집중하세요. 3번은 구간별 해의 교집합, 7·12·15번은 분모와 역함수의 존재 조건, 13·17번은 정의역과 끝점이 중요합니다. 16·21번에서는 중복 사용과 같은 물건의 구별 여부를 확인하고, 19번에서는 등호가 성립하는 조건까지 적었는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 계수 비교·복소수 계산·평행이동의 기본 절차를 복습하세요. 전개와 이동에서 부호가 달라지는 지점을 표시하며 풀어 보세요(1·2·4번 대비).
2. 역함수의 입력과 출력, 합성 순서를 말로 설명한 뒤 식으로 옮기세요. 기본 대입에서 집합 사이의 대응과 이차함수 대칭성까지 확장하세요(5·6·14·18번 대비).
3. 유리함수의 정의역·치역·점근선과 역함수를 함께 정리하세요. 목표 함숫값만 구하는 방법과 교점의 존재를 판단하는 방법을 구별하세요(7·12·15번 대비).
4. 구간과 그래프를 먼저 그리는 습관을 들이세요. 절댓값의 부호 변화, 무리함수의 공통 정의역, 접선의 거리 조건을 확인하세요(3·9·13·17번 대비).
5. 경우의 수는 무엇을 구별하고 어떤 경우를 더하는지 먼저 쓰세요. 횟수 조합의 기본형에서 공통 후보가 있는 일대일함수와 같은 물건의 분배로 나아가세요(10·11·16·21번 대비).
6. 증명과 반복 구조를 짧은 문장으로 정리하는 연습을 하세요. 대우의 경우 분류와 반복 합성의 주기를 설명한 뒤 계산을 마무리하세요(19·20번 대비).