개포고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

개포고 고1 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차는 이차방정식, 여러가지방정식, 여러가지부등식과 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식에서 출제됐습니다. 방정식과 부등식의 계산뿐 아니라 좌표로 도형을 해석하는 능력이 함께 필요합니다.

초반부터 도형의 넓이, 내분·외분, 무게중심 같은 개념이 등장합니다. 공식을 기억하더라도 어떤 선분에 적용할지 판단해야 하므로, 좌표를 대입하는 연습만으로는 부족합니다. 같은 높이를 갖는 삼각형이나 중선의 교점처럼 식을 간단하게 만드는 관계를 먼저 찾으세요.

후반에는 후보를 구하는 계산과 후보를 걸러내는 판단이 분리됩니다. 직선 위의 교점이 실제 선분 안에 있는지, 접하는 경계에서 점의 개수가 달라지는지까지 확인해야 합니다. 마지막 서술·단답형도 모두 자동 분류 기준 어려움이므로, 풀이의 근거를 정리할 여유가 필요합니다.

난이도 분포 — 14번부터 이어지는 어려움 구간

쉬움 문항은 기본 부등식 풀이, 두 점을 지나는 직선, 연립부등식의 정수 조건, 세 점을 지나는 원에 해당합니다. 초반에 고르게 놓여 있으므로 접근이 분명한 문항부터 정확하게 마치는 것이 좋습니다. 쉬움으로 분류됐어도 부등호 방향과 절편의 종류를 혼동하면 계산 전체가 어긋납니다.

보통 구간은 도형을 식으로 바꾸는 연습의 완성도를 확인합니다. 9·13번은 제한된 범위에서 부등식이 성립하는 조건을 해석하고, 10·11번은 거리나 지름의 성질로 좌표 계산을 줄일 수 있습니다. 후반의 어려움 구간에서는 경우 구분이 더해지므로, 이 구간에서 불필요한 전개를 줄이는 것이 시간 확보에 도움이 됩니다.

출제 단원 — 원의방정식과 여러가지부등식 중심

가장 많은 원의방정식은 기본 방정식 결정에서 시작해 현, 교점 개수, 접선, 자취까지 이어집니다. 특히 18~20번은 원의 식만 세운다고 끝나지 않습니다. 선분 내부 조건과 접선의 수직 관계, 움직일 수 있는 범위를 함께 다뤄야 하므로 직선의방정식과 연결해 복습하세요.

여러가지부등식은 단순한 해 구하기와 항상 성립하는 조건, 정수해 개수 조건을 모두 포함합니다. 1·5번에서 경계 처리를 익힌 뒤 9·13번의 구간 해석, 17번의 매개변수별 경우 구분으로 확장하는 순서가 좋습니다. 평면좌표 역시 내분과 넓이 관계가 22번까지 이어지므로 초반 공식이 후반에서 어떻게 쓰이는지 연결해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 후반 집중

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 줄고 보통은 늘었으므로, 분류상 전체 부담은 완화된 구성입니다. 다만 올해도 어려움이 후반에 연속 배치되어 있어, 전체 분포만 보고 마지막 구간의 시간을 적게 잡아서는 안 됩니다.

작년에는 어려움이 초반 1~11번부터 이어졌고 서술·단답형 중에는 쉬움 문항도 있었습니다. 올해는 어려움이 14~22번에 모이고 서술·단답형도 모두 여기에 포함됩니다. 공통 단원 중 원의방정식은 작년 5문항에서 올해 6문항으로 늘고 평면좌표는 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 다음 준비에서는 원의 교점과 접선을 중심으로 좌표·넓이 해석을 연결하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 계산 결과에 원래 조건을 다시 적용해야 한다는 공통점이 있습니다. 18번은 위치, 20번은 이동 범위, 21번은 중복 여부가 핵심입니다. 이용자 투표로 순위를 확정한 것이 아니라, 조건 해석의 부담을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·5·8번처럼 풀이의 출발이 명확한 문항을 정확히 처리하고 보통 문항을 이어 가세요. 3·7·10번에서 기하 관계가 보이지 않으면 필요한 관계를 표시하고 잠시 넘어갈 수 있습니다. 구체적인 시험 시간이 제시되지 않았으므로 분 단위의 고정 목표보다 자신의 실전 풀이 기록에 맞춰 배분하세요.

14번 이후에는 어려움이 연속되므로 객관식 마지막까지 순서대로 버티는 방식은 부담이 큽니다. 후반 문제를 훑어 접근할 수 있는 문항부터 풀고, 21·22번의 조건 정리와 서술·단답형 답안 점검 시간을 따로 남기세요. 특히 21번은 계산을 길게 하기 전에 경우 목록을 적는 것이 누락을 줄입니다.

검토할 때는 9·13번의 열린 구간 끝점, 15번의 자연수 좌표와 기울기 순서, 16번의 접하는 경계, 18번의 선분 내부 조건을 확인하세요. 20번에서는 자취 전체와 실제 이동 범위를 구별하고, 22번에서는 대수적으로 얻은 후보가 양의 내분비를 나타내는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 부등식과 직선·원의 식을 정확하게 정리하세요. 부등호 방향, 정수 경계, 절편을 확인하는 습관부터 만듭니다(1·2·5·8번 대비).
2. 중점·내분·외분과 무게중심을 그림으로 설명하세요. 넓이비를 선분비로 바꾸고 대칭성으로 교점 계산을 줄이는 연습을 합니다(3·6·7·22번 대비).
3. 구간 전체에서 성립하는 부등식을 그래프로 판단하세요. 축과 근의 위치, 끝점 포함 여부를 정리한 뒤 정수해 개수 조건으로 확장합니다(9·13·17번 대비).
4. 점과 직선 사이의 거리, 각의 이등분선, 넓이 분할을 함께 다루세요. 좌표 후보를 구한 뒤 사분면과 기울기 조건으로 검증합니다(10·14·15번 대비).
5. 원과 직선의 교점을 위치 관계와 연결하세요. 지름의 성질, 접하는 경계, 선분 내부에 있는 교점을 구별하는 연습이 필요합니다(11·16·18번 대비).
6. 접선과 등거리의 자취를 복합적으로 연습하세요. 이동 범위를 먼저 구한 뒤 그 범위에서 최댓값·최솟값을 판단합니다(19·20번 대비).
7. 방정식의 인수분해와 근의 중복 여부를 정리하세요. 각 경우의 후보를 모은 뒤 켤레근과 공통근을 점검하고 서술 근거를 남깁니다(4·12·21번 대비).