보인고등학교
2024년 1학년 2학기 중간고사

보인고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 집합, 명제, 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 이차함수입니다. 집합과 명제의 기호를 정확하게 읽는 기본기에서 출발해 그래프와 원소 조건을 결합하는 문제까지 다룹니다.

같은 단원에서도 접근 방식이 다양합니다. 집합은 연산 확인, 원소 개수, 부분집합의 합, 대응 조건의 검토로 확장됩니다. 함수에서는 정의역과 치역의 일치, 일대일성, 절댓값 그래프 사이의 넓이가 등장하므로 함수식을 대입하는 연습만으로는 준비가 충분하지 않습니다.

시험의 성격은 조건을 번역한 뒤 빠짐없이 검토하는 데 있습니다. 명제의 방향을 포함 관계로 옮기고, 절댓값은 구간을 나누며, 서로 다른 원소의 함수값이 겹치지 않는지 확인해야 합니다. 서술·단답형에서도 기본 증명과 복합 조건 문제가 함께 있어 문항별로 필요한 풀이 시간을 구별하는 연습이 중요합니다.

난이도 분포 — 중간의 고난도와 후반의 기본형을 구별

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반의 집합·명제·함수 기본형과 후반의 부등식 증명에 분포합니다. 8·9번은 명제의 진리집합과 필요조건을 다루므로, 용어와 포함 방향을 정확히 알면 풀이를 간결하게 정리할 수 있습니다. 다만 쉬움 분류가 조건 확인을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

객관식에서는 10·12·15번 사이에 보통 문항이 있습니다. 10번의 집합 구조나 12번의 도형 해석에서 시간이 길어지면 뒤의 접근 가능한 문제를 확인하세요. 15번은 이차함수의 교점과 서로 다른 근의 조건을 연결해야 하므로 계산에 앞서 그래프와 근의 중복 관계를 정리해야 합니다.

서술·단답형에서는 17~19번이 연속으로 어려움에 해당하지만 20번은 쉬움, 21번은 보통입니다. 17번부터 차례대로 모두 풀어야 한다고 생각하면 기본형을 검토할 시간을 잃기 쉽습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 난도 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 집합과 함수의 조건 해석이 중심

집합은 가장 많은 단원이면서 문항의 성격도 넓습니다. 4번은 여집합과 포함배제, 14번은 부분집합에 각 원소가 나타나는 횟수, 18번은 원소 사이의 대응과 교집합 조건을 다룹니다. 원소를 모두 나열하는 풀이와 소속 조건을 구조적으로 세는 풀이를 상황에 맞게 선택해야 합니다.

함수에서는 3번의 같은 함수, 11번의 정의역과 치역, 16·17번의 일대일성이 연결됩니다. 특히 일대일함수는 서로 다른 입력의 출력이 겹치지 않는 조건이고, 일대일대응은 공역 전체를 덮는 조건까지 필요합니다. 문항에서 요구하는 개념을 먼저 구별하세요.

명제의 12번은 존재 조건을 도형의 교점 문제로 옮겨야 합니다. 절대부등식에서는 코시슈바르츠, 산술기하평균, 인수분해를 통한 증명이 각각 나타납니다. 단원명만 외우기보다 부등식을 적용할 조건과 등호가 가능한지 확인하는 습관을 함께 익히세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 합성함수 중심에서 집합·함수로 이동

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 줄고 쉬움 문항은 늘었지만, 서술·단답형은 늘었습니다. 전체 문항 수가 같아도 후반에 직접 조건과 근거를 정리해야 하는 부담은 별도로 준비해야 합니다.

작년에는 합성함수와역함수가 가장 많았고 올해는 집합이 가장 많습니다. 함수는 작년 1문항에서 올해 5문항으로 늘었으며, 집합도 작년 4문항에서 올해 6문항으로 늘었습니다. 합성과 역의 계산을 익힌 뒤 정의역·치역, 일대일성, 집합의 원소 조건을 함께 복습할 필요가 있습니다.

작년의 어려움 문항은 11~15번과 19·21번에 있었고, 올해는 10·12·15번과 17~19번에 있습니다. 올해 마지막 문항만 붙잡고 고난도 연습을 정리하면 중간의 조건 해석 문제를 놓칠 수 있습니다. 다음 시험 대비에서는 번호보다 조건 변환과 경우 분류라는 풀이 과정을 기준으로 오답을 묶어 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다. 공통적으로 조건을 다른 표현으로 바꾸고 경우의 경계를 확인해야 합니다. 계산에 앞서 그림이나 대응표를 그리면 누락된 조건을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 집합 연산과 명제의 기본 관계처럼 출발점이 보이는 문제를 먼저 해결하세요. 10·12·15번에서 풀이가 길어지면 남은 조건을 표시하고 넘어간 뒤 다시 검토하세요. 후반에도 20·21번처럼 접근 방식을 비교적 빠르게 정할 수 있는 문항이 있으므로 끝까지 먼저 살펴보는 연습이 좋습니다.

서술·단답형에서는 16번의 구간별 기울기, 17번의 함수값 후보, 18번의 교집합에 따른 경우를 먼저 적으세요. 19번은 넓이 계산보다 그래프의 구간 구분에 시간을 써야 합니다. 연습할 때 조건 정리에 걸린 시간과 계산에 걸린 시간을 구별해 기록하면 지연되는 단계를 찾을 수 있습니다.

마지막에는 계산을 전부 반복하기보다 조건 누락을 확인하세요. 2·9번의 포함 방향, 11번의 꼭짓점 포함 여부, 15번의 근 중복, 16번의 경계 기울기를 살피세요. 20번은 증명과 등호 조건을 모두 적었는지, 21번은 차집합에서 빠져야 할 원소를 제거했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 연산과 진리집합의 포함 방향을 먼저 정리하세요. 명제와 역, 부정 조건을 그림과 기호로 함께 써 보세요(1·2·8·9번 대비).
2. 원소 개수와 부분집합 문제를 연습하세요. 포함배제, 원소별 등장 횟수, 약수 조건에 따른 후보 분류를 구별하세요(4·14·21번 대비).
3. 부등식은 식의 정리와 적용 조건부터 확인하세요. 코시슈바르츠, 산술기하평균, 양변의 차 인수분해를 선택하고 등호 가능성을 설명하세요(5·13·20번 대비).
4. 함수의 기본 개념을 대응표와 그래프로 연결하세요. 같은 함수, 치역, 일대일함수와 일대일대응을 구별하고 기울기의 경계도 검사하세요(3·11·16·17번 대비).
5. 합성과 역함수는 입력·출력의 흐름을 적어 연습하세요. 반복 합성에서는 주기와 남는 항을 분리하세요(6·7번 대비).
6. 고난도 조건은 그림과 경우표로 정리하세요. 집합의 대응, 원과 반직선의 교점, 이차함수의 공통근, 절댓값 그래프의 넓이를 각각 범위와 함께 검토하세요(10·12·15·18·19번 대비).