보인고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

보인고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 집합, 순열조합입니다. 함수의 대응 관계와 그래프를 읽는 능력에 조건부 경우의 수를 세는 능력이 함께 요구됩니다.

함수 문항에서는 공식을 대입하기 전에 구조를 해석해야 합니다. 반복 합성의 주기, 합성함수가 일대일대응이 될 조건, 유리함수의 대칭성, 무리함수와 역함수의 관계가 서로 다른 형태로 등장합니다. 그래프에서 얻은 후보를 정의역이나 부호 조건으로 다시 검토하는 과정도 필요합니다.

순열조합도 단순한 기호 계산에 머물지 않습니다. 카드 분배, 도로망, 직선으로 만드는 삼각형, 참여 인원 제한처럼 상황에 따라 분류 기준을 세워야 합니다. 서술·단답형에서는 경우를 나눈 이유와 제외한 대상을 짧게 적는 연습이 계산 실수를 줄이는 데 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 조건 해석

쉬움인 1번은 역함숫값의 의미를 확인하는 문항입니다. 보통으로 분류된 2·4·5번에서도 역함수의 좌표 대응, 근과 계수의 관계, 경로 분류를 알아야 합니다. 기본형이라는 이유로 조건을 생략하면 이후의 고난도 풀이에서도 같은 오류가 반복될 수 있습니다.

3번은 반복 합성과 역함수의 관계를 묻고, 6~11번에서는 함수의 개수와 그래프의 대칭, 도형 조건이 이어집니다. 중간의 12번은 보통으로 분류되므로 앞 문항에서 막혔다고 이후 문제까지 미루지 마세요. 계산을 시작할 근거가 보이는 문제를 골라 푸는 운영이 필요합니다.

서술·단답형은 16번이 보통이고 17~21번이 어려움입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 후반에서 조건 분류와 후보 검사가 반복되므로, 객관식에 시간을 모두 쓰지 않도록 전체 문항을 먼저 확인하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수 구조의 연결

순열조합은 객관식과 서술·단답형에 걸쳐 배치되어 있습니다. 4번의 순열·조합 기호에서 시작해 8번의 카드 분배, 14번의 자연수 구성, 17번의 도형 개수, 21번의 인원 배분으로 확장됩니다. 전체를 세고 제외할지, 조건별로 나누어 더할지를 결정하는 연습이 중요합니다.

합성함수와역함수는 함숫값 계산뿐 아니라 반복 합성의 주기와 치환, 이동 구간에서의 최댓값까지 다룹니다. 무리함수는 역함수와의 교점 및 도형의 길이 관계와 결합됩니다. 같은 역함수 문제라도 좌표를 뒤집는 단계와 교점이 놓이는 위치를 판단하는 단계를 구별하세요.

유리함수는 7·9·19번 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 대칭축과 대칭중심을 이용해 함숫값이나 도형 관계를 줄이는 접근이 유용합니다. 함수 단원의 6·13번도 경우의 수와 연결되므로 단원 이름만 보고 그래프 문제와 셈 문제를 분리해서 공부하기는 어렵습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성은 같고 어려움 비중은 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항과 서술·단답형 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년보다 늘고 쉬움과 보통은 줄었습니다. 작년에는 어려움이 8번에서 처음 등장했지만 올해는 3번부터 나타나므로, 앞부분을 모두 가벼운 계산 문제로 예상하는 방식은 적절하지 않습니다.

순열조합은 여전히 가장 많지만 작년보다 비중이 줄었습니다. 무리함수는 작년과 같은 문항 수이고, 합성함수와역함수는 작년 1문항에서 올해 4문항으로 늘었습니다. 유리함수는 작년 5문항에서 올해 3문항으로 줄었지만 올해 해당 단원의 문항은 모두 어려움으로 분류됩니다.

서술·단답형에서 작년에는 16·20번이 보통이었지만 올해는 16번을 제외하고 어려움이 이어집니다. 대비할 때는 순열조합의 분류 능력을 유지하면서 합성함수의 치환과 값의 범위 해석을 보강하세요. 출제 수의 변화만으로 다음 시험의 단원별 배치를 예측하기보다 이번에 확인된 풀이 부담을 줄이는 데 활용하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 대상을 정확히 정하고 계산 뒤 원래 조건으로 돌아와 검토해야 한다는 것입니다. 제외할 도형, 이동한 구간, 유효한 근을 풀이 옆에 표시하는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 3번에서 반복 합성의 구조가 바로 보이지 않으면 표시하고 4·5번을 확인할 수 있습니다. 6~11번의 풀이가 길어지더라도 12번과 서술·단답형의 16번까지 살펴보며 풀 수 있는 문항을 확보하세요.

서술·단답형을 시작할 때는 계산 전에 분류 기준을 적으세요. 17번은 삼각형이 되지 않는 직선 선택, 18번은 옮겨진 구간과 축의 위치, 21번은 어른의 배치에 따른 어린이 수의 범위를 먼저 정리하면 됩니다. 연습에서는 조건을 해석한 시간과 계산한 시간을 나누어 기록하면 지연되는 단계를 알 수 있습니다.

마지막 검토는 빠뜨린 제한을 중심으로 하세요. 5번은 지점 재방문 금지, 8번은 같은 카드의 구별 여부, 12번은 거리의 경계 포함, 14번은 숫자 중복 사용 금지가 중요합니다. 15·20번은 제곱 전 부호 조건을, 19·21번은 도형이나 인원 조건을 모두 충족했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 역함수를 입력과 출력의 교환으로 해석하고 반복 합성을 대응 그림으로 표현하세요. 구간별 합성 조건은 중간 함숫값으로 치환하세요(1·2·3·11번 대비).
2. 순열·조합 기호의 관계와 합·곱의 법칙을 복습하세요. 경로와 홀짝을 세기 전에 서로 겹치지 않는 분류 기준을 적으세요(4·5·16번 대비).
3. 함수의 개수와 카드 분배를 연결해 연습하세요. 먼저 강제되는 대응을 정하고 자유롭게 선택할 부분을 따로 세세요(6·8·13번 대비).
4. 유리함수의 대칭축·대칭중심과 무리함수의 정의역·값의 범위를 그림에 표시하세요. 기하적으로 얻은 후보를 함수 조건에 대조하세요(7·9·10·15·19번 대비).
5. 제한된 경우의 수는 전체에서 제외하는 방법과 조건별로 더하는 방법을 비교하세요. 배수 조건, 직선의 중복, 인원 제한을 각각 점검하세요(12·14·17·21번 대비).
6. 합성함수의 최댓값과 역함수의 교점은 구간 및 근의 위치 문제로 바꾸세요. 끝점과 축, 판별식과 제곱 전 조건을 묶어 검토하세요(18·20번 대비).