보인고등학교
2022년 1학년 2학기 중간고사

보인고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 집합, 명제, 합성함수와역함수, 절대부등식, 함수입니다. 집합의 연산과 논리적 판단에서 시작해 역함수의 존재 조건, 제한된 정의역에서의 교점 해석까지 다룹니다.

초반에는 연산 법칙이나 역과 대우의 관계처럼 개념을 정확히 알면 접근이 짧은 문제가 배치되어 있습니다. 중반부터는 문장으로 주어진 조건을 구간이나 포함 관계로 바꾸는 과정이 필요합니다. 계산에 들어가기 전에 무엇이 고정되고 무엇이 자유롭게 정해지는지 구별하는 것이 중요합니다.

서술·단답형에서는 충분조건을 진리집합으로 나타내거나, 집합의 원소 합으로 후보를 좁히거나, 함수의 대칭 조건으로 선택의 자유를 판단합니다. 마지막에는 귀류법 증명도 있으므로 수치 계산만 연습해서는 부족합니다. 가정에서 모순에 이르는 이유를 문장으로 연결하는 연습을 함께 하세요.

난이도 분포 — 기본 개념에서 조건 결합으로

자동 분류 기준 쉬움은 1~5번에 모여 있습니다. 집합식의 정리, 부분집합의 개수, 합성함수와 역함수의 기본 계산이 중심입니다. 이 구간에서는 개념의 이름을 아는 데서 그치지 말고 부정 기호, 합성 순서, 반드시 포함할 원소를 정확하게 읽어야 합니다.

보통 문항은 원소 개수의 최댓값·최솟값, 존재 명제, 진리집합, 귀류법처럼 접근법이 다양한 편입니다. 특히 8번의 극값은 가능한 집합 배치를, 12번의 증명은 소수의 성질을 해석해야 합니다. 분류가 보통이라고 해서 모두 단순 대입 문제로 생각하지 마세요.

자동 분류 기준 어려움인 13·15·19번은 계산 뒤의 조건 검토가 공통 부담입니다. 역함수 존재를 위해 빠지는 함숫값이 없어야 하고, 부등식의 경계는 실제로 달성되어야 하며, 교점은 정해진 정의역 안에 있어야 합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 집합과 명제의 해석이 바탕

집합은 연산 법칙에서 원소 개수, 포함 관계, 부분집합의 결정으로 확장됩니다. 4번과 14번은 조건을 집합 사이의 범위로 바꾸는 점에서 연결되지만, 14번에는 나머지 조건을 만족하는 원소를 세는 작업이 추가됩니다. 17번은 집합을 겹치는 부분과 나머지 부분으로 나누어 원소 합을 활용합니다.

명제에서는 역과 대우, 존재 명제, 진리집합, 충분조건, 귀류법이 고르게 나타납니다. 7번의 존재 조건과 16번의 포함 관계를 구별하고, 12·20번은 증명이 모순에 도달하는 구조를 정리하세요. 절대부등식의 제곱 비교와 상한 판단도 명제의 참·거짓을 설명하는 근거가 됩니다.

합성함수와역함수는 기본 계산인 3·5번에서 치환을 쓰는 10번, 구간별 함수의 역함수 존재를 판단하는 13번, 그래프의 교점을 해석하는 19번으로 이어집니다. 역함수 공식을 구하는 연습에 더해 정의역·치역과 일대일대응을 연결해야 합니다. 함수의 개수를 묻는 18번에서는 대응값을 독립적으로 정할 수 있는 입력을 먼저 가려내세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자료의 자동 분류와 해설의 조건 결합 구조를 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산으로 얻은 후보를 원래 조건에 돌려놓는 과정이 필요합니다. 풀이를 정리할 때는 필요한 조건을 얻는 단계와 그 조건으로 실제 성립하는지 확인하는 단계를 구별해 쓰세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 차분하게 처리하고, 중반에서는 접근 방법을 정한 뒤 계산하세요. 13번에서 구간별 치역을 정리하는 데 시간이 길어지면 표시하고 14번 등 다음 문제를 살펴보는 편이 좋습니다. 객관식 후반의 어려움 문항을 모두 해결한 뒤에야 서술·단답형을 시작하려고 하면 접근 가능한 문제를 놓칠 수 있습니다.

서술·단답형은 각 문항의 첫 표현을 먼저 정리하세요. 16번은 충분조건의 포함 방향, 17번은 집합의 분리, 18번은 부호가 반대인 입력 사이의 대응이 출발점입니다. 20번은 결론을 부정하면 어떤 가정이 되는지부터 쓰세요. 특히 증명 문제에 사용할 시간을 남기고, 등식의 나열 사이에 부등식이 성립하는 이유를 덧붙이세요.

검토는 부호와 경계를 중심으로 진행하세요. 9번은 음수로 나눌 때의 부등호와 열린 끝점, 10번은 치환한 값의 범위와 원래 변수의 해를 확인해야 합니다. 13번은 각 구간의 치역 연결, 15번은 등호 성립과 양수 조건, 19번은 서로 다른 근과 정의역 끝점의 포함 여부를 점검하세요. 전개를 처음부터 반복하기보다 누락한 조건을 찾는 검토가 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 연산을 교집합과 여집합으로 바꾸는 기본기를 익히세요. 포함 관계로 필수 원소와 선택 원소를 나누고, 배수 집합은 중복을 빼며 세어 보세요(1·4·6번 대비).
2. 집합의 최댓값·최솟값은 벤다이어그램으로 가능한 배치를 확인하세요. 나머지 조건으로 교집합을 찾고, 원소 합의 범위로 부분집합 후보를 좁혀 보세요(8·14·17번 대비).
3. 역·대우·부정을 구별한 뒤 진리집합의 포함 관계로 명제를 읽으세요. 존재 명제의 최댓값 판단과 충분조건의 방향을 각각 설명하는 연습을 하세요(2·7·9·16번 대비).
4. 합성 순서와 역함수의 입력·출력을 복습한 다음 치환 문제로 넘어가세요. 구간별 함수는 일대일성과 치역을 따로 정리하고, 교점 문제는 정의역까지 확인하세요(3·5·10·13·19번 대비).
5. 절대부등식은 양수 조건을 확인하고 제곱 비교와 완전제곱 변형을 연습하세요. 극값을 주장할 때는 등호 조건이 원래 조건을 만족하는지도 적어 보세요(11·15번 대비).
6. 함수의 대응 조건과 귀류법을 문장으로 설명하세요. 자유롭게 고르는 함숫값과 종속되는 함숫값을 구별하고, 증명에서는 부정한 결론과 모순을 분명히 연결하세요(12·18·20번 대비).