보인고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

보인고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 집합, 명제, 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수입니다. 집합의 연산과 명제의 논리 관계가 함수의 대응 조건 및 부등식의 성립 조건과 함께 다뤄집니다.

초반 명제 문항은 필요조건과 충분조건, 역과 대우, 진리집합의 관계를 구별하는 데 초점이 있습니다. 뒤로 가면 같은 개념을 구간의 포함 관계나 증명 과정으로 옮겨야 합니다. 용어를 외운 뒤 바로 계산하기보다 어떤 방향의 포함 관계인지 먼저 쓰는 연습이 필요합니다.

함수 문항은 유한집합의 대응과 구간에서 정의된 그래프를 모두 다룹니다. 일대일대응으로 남은 대응을 정하는 문제와 역함수의 교점을 해석하는 문제는 출발점이 다릅니다. 서술·단답형에도 부등식 증명이 포함되어 있어 계산 결과뿐 아니라 적용 근거를 문장으로 정리하는 능력이 중요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·2·5번으로 모두 명제 단원입니다. 필요충분조건을 바꾸어 읽거나 역의 반례를 찾는 기본기가 이 구간의 중심입니다. 다만 명제와 그 역의 참·거짓이 항상 같다고 생각하면 짧은 문제에서도 판단이 흔들릴 수 있습니다.

보통 구간에는 집합 연산, 대응표 완성, 반복 합성, 진리집합의 구간 해석이 포함됩니다. 서술·단답형의 16·17·18·20번도 자동 분류 기준 보통이므로, 11~15번에서 오래 막히더라도 뒤 문항을 확인할 필요가 있습니다. 서술형이라는 형식만으로 풀이 순서를 미루지 마세요.

자동 분류 기준 어려움인 11~15번은 풀이 도구를 고른 뒤 조건을 다시 검사하는 과정이 공통적입니다. 19번은 구간별 함수의 일대일대응과 교점 대칭을, 21번은 합성 조건으로 결정되는 대응과 추가 조건을 연결합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지 않습니다.

출제 단원 — 합성함수와 역함수의 비중

합성함수와역함수는 가장 많은 6문항입니다. 4·8번은 유한집합에서 대응을 추적하고, 17번은 합성함수의 안쪽 값을 치환하여 구간을 고릅니다. 14·19번은 역함수 그래프의 성질을 다루므로 대응표만 연습해서는 이 단원을 충분히 준비하기 어렵습니다.

명제와 절대부등식은 각각 5문항이지만 요구하는 사고가 다릅니다. 명제는 논리 방향과 진리집합의 포함 관계가 중심이고, 절대부등식은 양수 조건, 완전제곱식, 판별식, 등호 성립의 확인이 중요합니다. 같은 부등식 단원 안에서도 식의 모양과 변수 범위에 따라 도구를 골라야 합니다.

집합은 연산으로 집합을 복원하는 기본형에서 원소 자격과 매개변수를 함께 따지는 유형으로 확장됩니다. 함수 단원의 13번은 공역 안에 모든 함숫값이 들어간다는 정의를 계수 조건으로 바꾸어야 합니다. 문항 수가 적은 단원도 조건 해석 연습에서 제외하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 달라진 분포

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 3문항에서 7문항으로 늘고 쉬움은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 서술·단답형은 모두 16~20번이지만 올해에는 객관식 21번이 추가되어 있으므로 마지막 번호만 보고 문항 형식을 예상하지 마세요.

작년에는 집합과 명제가 각각 6문항으로 가장 많았습니다. 올해 집합은 4문항, 명제는 5문항이며, 합성함수와역함수는 작년 5문항에서 올해 6문항으로 바뀌었습니다. 절대부등식도 작년 2문항에서 올해 5문항이 되어 논리와 집합 연산뿐 아니라 부등식 도구의 선택을 함께 준비할 필요가 있습니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 13·15·19번이었고, 올해는 11~15번과 19·21번입니다. 객관식 후반에서 연속된 조건 해석에 대비하되, 이 변화만으로 다음 시험의 분포를 예측할 수는 없습니다. 학습에서는 역함수 그래프와 부등식의 성립 조건을 보강하고 기본 집합·명제 유형도 유지하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 식을 계산하기 전에 적용 가능한 성질과 범위를 정해야 하므로, 풀이 첫 줄에 선택한 도구와 그 근거를 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 명제의 기본 판단과 집합 연산처럼 접근이 보이는 문항을 확보하세요. 11~15번에서 풀이가 길어지면 표시하고 서술·단답형도 확인하세요. 16·17·18·20번은 자동 분류 기준 보통이며, 21번은 객관식이므로 형식과 번호를 함께 보고 풀이 순서를 정하는 것이 좋습니다.

풀이 중에는 조건을 적는 시간을 아끼지 마세요. 9번은 구간의 끝점 포함 여부, 13번은 정의역 전체에서 공역을 벗어나지 않는 조건, 15번은 원소를 정의하는 보조 변수의 범위가 중요합니다. 14·19번은 증가함수와 감소함수의 역함수 교점 성질을 구별해 두어야 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 계산보다 적용 조건을 먼저 확인하세요. 3·12번은 양수 치환과 등호 성립, 16번은 각각의 극값이 가능한지, 20번은 분모를 없애는 근거와 등호 조건이 점검 대상입니다. 대응표를 쓰는 4·8·21번에서는 같은 출력이 중복되지 않았는지 확인하고, 부분집합을 세는 18번에서는 공집합 제외를 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 필요조건·충분조건과 역·대우를 진리집합의 포함 방향으로 바꾸세요. 거짓인 명제는 반례나 포함 관계의 실패로 설명하세요(1·2·5·9번 대비).
2. 집합 연산을 서로 겹치지 않는 영역으로 나누는 연습을 하세요. 그 뒤 원소 후보를 먼저 추리고 부분집합의 조건을 반영하는 유형으로 확장하세요(6·7·15·18번 대비).
3. 산술평균과 기하평균, 완전제곱식, 코시·슈바르츠 부등식을 적용 조건별로 정리하세요. 풀이마다 변수 범위와 등호 성립 여부를 함께 적으세요(3·11·12·16·20번 대비).
4. 유한집합의 대응표를 그리고 역방향 대응과 반복 합성을 추적하세요. 사용한 출력과 남은 출력을 구분하고 순환으로 계산을 줄이세요(4·8·21번 대비).
5. 함수에서는 정의역과 공역을 먼저 표시하세요. 끝점의 함숫값과 구간별 식의 적용 범위를 확인한 뒤 매개변수나 해의 후보를 검토하세요(13·17번 대비).
6. 역함수 그래프는 증가·감소 여부와 치역을 먼저 확인하세요. 대칭축 위의 교점과 대칭축 밖에서 짝을 이루는 교점을 구별하세요(14·19번 대비).
7. 증명은 가정, 변형 근거, 결론을 연결해 직접 써 보세요. 귀류법에서 모순에 도달하는 이유와 부등식 증명에서 부호를 확인하는 이유를 설명하세요(10·20번 대비).