목동고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

목동고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

목동고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 자료에서 확인되는 단원은 순열조합, 무리함수, 유리함수, 함수, 여러가지방정식입니다. 함수의 그래프와 조건을 해석하는 문제에 선출·배열·자연수 세기 등이 함께 배치된 시험입니다.

함수에서는 식을 정리하는 것만큼 입력과 출력의 범위를 구별하는 일이 중요합니다. 무리함수의 교점, 조각별로 정의된 함수의 일대일대응, 합성함수의 정의역을 다루므로 근호 조건을 마지막에 확인하는 습관은 위험합니다. 그래프의 시작점과 포함되는 경계를 먼저 표시해 보세요.

경우의 수에서도 공식 선택에 앞서 대상을 바꾸어 보는 과정이 필요합니다. 조건을 어기는 선출을 세거나, 증가하는 함수의 개수를 함숫값 선택으로 바꾸거나, 최대공약수 조건을 서로소 조건으로 옮기는 방식입니다. 계산을 시작하기 전에 무엇을 고정하고 무엇을 셀지 한 문장으로 정리하세요.

난이도 분포 — 초반부터 섞인 어려움 문항

자동 분류 기준 쉬움은 1·16번입니다. 1번은 조합의 기본 의미를 확인하며, 16번은 유리식과 함수 및 순열조합의 개념 판단을 포함합니다. 쉬움으로 분류되어 있어도 여러 개념을 오가므로 정의와 기호를 정확히 구별해야 합니다.

4·6번에서 이미 어려움 문항이 등장하지만 그 사이와 뒤에 보통 문항이 있습니다. 특히 9~11번을 풀다가 시간이 길어지더라도 보통으로 분류된 12번을 확인할 필요가 있습니다. 뒤로 갈수록 일괄적으로 어려워지는 배열로 받아들이지 마세요.

서술·단답형도 난도가 섞여 있습니다. 17번 뒤의 18·19번과 20번 뒤의 21번은 보통으로 분류됩니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인별 체감과 다를 수 있지만, 풀이 순서를 정할 때 접근 가능한 문항을 다시 찾아야 한다는 근거로 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 무리함수와 순열조합의 비중

무리함수는 최댓값과 직선의 교점에서 출발해 대칭을 이용한 넓이, 교점 개수, 일대일대응, 합성함수로 이어집니다. 2·3·5·8번의 기본 해석을 익힌 뒤 13·14·17번에서 조건이 어떻게 겹치는지 살펴보세요. 근호를 없애는 계산과 정의역 검토를 분리하지 않는 연습이 필요합니다.

순열조합은 단순한 선출뿐 아니라 조건부 선출, 계단 이동, 자릿수 조건, 사전식 배열, 함수의 개수, 서로소인 순서쌍까지 다룹니다. 같은 조합 기호를 사용하더라도 세는 대상은 다릅니다. 10번의 여사건과 19번의 함숫값 선택을 비교하며 풀이를 짧게 만드는 관점을 익히세요.

유리함수에서는 대칭과 점근선 외에 주기함수와의 교점, 조각별 치역도 중요합니다. 함수 단원의 6·21번은 반복 관계를 찾아 큰 입력을 처리하고, 11번은 일대일대응의 개수를 셉니다. 마지막 23번은 자연수와 약수 조건을 활용하는 방정식으로, 그래프 문제와 다른 정수 조건 처리도 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 얻은 뒤 허용 조건으로 후보를 걸러 내는 과정이 필요합니다. 풀이 옆에 정의역·치역·자연수 조건을 남겨 두고 마지막 단계에서 다시 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 해결 방향이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 4·6번에서 변형이 길어지면 표시하고 뒤의 기본 그래프 문항을 확인하는 방식이 유효합니다. 13~15번에 오래 머무르기 전에 서술·단답형의 16·18·19·21번도 살펴보세요. 연습에서는 문제를 읽는 시간과 경우를 정리하는 시간을 나누어 기록하면 지연 원인을 찾기 쉽습니다.

서술·단답형에서는 출발 조건을 짧게 적는 데 시간을 쓰세요. 17번은 합성이 가능한 입력, 20번은 공통인수를 나눈 뒤의 범위, 22번은 각 조각의 치역, 23번은 분배량의 자연수 조건이 출발점입니다. 계산을 많이 적는 것보다 왜 그 후보만 남는지 확인할 수 있게 쓰는 연습이 필요합니다.

검토할 때는 경계와 중복을 우선 확인하세요. 3번의 사분면 조건, 13번의 비음수 조건, 14·22번의 끝값 포함 여부는 부등호와 연결됩니다. 10번의 제외 경우가 겹치는지, 15번의 숫자가 중복되지 않는지, 18번의 순번을 정확히 해석했는지도 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 근호 조건과 유리함수의 표준형부터 정리하세요. 정의역·치역·대칭·점근선을 짧은 그림으로 나타내는 연습을 하세요(2·3·7·16번 대비).
2. 그래프의 교점을 좌표와 길이로 바꾸고 대칭으로 넓이를 비교하세요. 계산 전에 밑변과 높이 또는 대응하는 부분을 표시하세요(5·8번 대비).
3. 무리함수의 교점과 일대일대응에서 허용 범위를 정리하세요. 치환 변수의 부호와 조각별 치역의 경계를 쓰는 연습을 하세요(13·14·17번 대비).
4. 유리함수의 점근선과 반복 그래프를 함께 해석하세요. 수평선의 높이별로 각 조각에서 해가 존재하는지 표로 확인하세요(9·22번 대비).
5. 선출과 배열은 세는 대상부터 구분하세요. 여사건, 함숫값의 선택, 앞자리를 고정한 묶음 중 어떤 접근이 적절한지 설명하세요(1·10·11·18·19번 대비).
6. 자연수 조건은 고정할 대상과 탐색 범위를 먼저 정하세요. 배수·서로소·약수 조건을 옮긴 뒤 중복과 누락을 확인하세요(15·20·23번 대비).
7. 함수 관계와 이동 경우의 수에서 반복 규칙을 찾으세요. 초기값과 이동 단위를 분명히 적고 큰 입력을 처리하세요(6·12·21번 대비).