단국대학교사범대학부속고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

단국대학교사범대학부속고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 이차방정식입니다. 함수의 기본 성질이 그래프 해석과 대응 관계의 추론으로 확장됩니다.

유리함수와 무리함수는 식의 형태를 외우는 것에서 끝나지 않습니다. 점근선으로 계수를 복원한 뒤 다른 함수의 그래프를 읽거나, 대칭성과 정의역을 이용해 교점 조건을 판단합니다. 함수의 성질을 도형이나 방정식으로 바꾸는 연결이 중요합니다.

경우의 수에서는 조건을 어떻게 나누느냐가 풀이의 길이를 좌우합니다. 빈자리가 있는 배열, 합과 곱의 배수 조건, 원래 좌석과의 관계를 각각 다른 기준으로 정리해야 합니다. 서술·단답형에서도 대응표나 구간 그림을 먼저 만들면 계산의 근거를 정돈할 수 있습니다.

난이도 분포 — 초반 이후 이어지는 조건 해석

쉬움인 1·3번은 식의 분류와 치환을 이용한 역함수의 기본을 확인합니다. 보통인 2·4·5번도 그래프에서 정보 읽기, 역함숫값을 원래 함수로 바꾸기, 홀짝에 따른 분류가 필요합니다. 초반부터 무엇을 먼저 정리할지 판단하며 풀어야 합니다.

6~9번에서는 배열 조건, 대칭 도형, 무리함수 교점, 판별식 해석이 이어집니다. 이후 10번은 보통으로 분류되어 있으므로 앞 문항에서 막혔다는 이유로 다음 문제까지 미루지 마세요. 11~14번은 경우의 수와 함수 조건을 여러 단계로 연결합니다.

서술·단답형에서는 19·21번이 보통이고 나머지는 어려움입니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 후반에도 접근 가능한 문항이 섞여 있으므로 번호순 완주보다 풀이 구조가 보이는 문항부터 확보하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 합성함수와역함수의 연결이 중심

가장 많은 합성함수와역함수는 치환으로 함수식을 구하는 기본형부터 유한집합의 일대일대응, 반복되는 이동, 역함수 그래프의 교점까지 포함합니다. 단순히 역함수식을 구하는 연습에 머물지 말고 입력과 출력이 어떻게 연결되는지 설명하는 연습이 필요합니다.

무리함수는 그래프의 시작점과 정의역, 대칭이동이 공통 기반입니다. 유리함수도 7번에서는 도형의 넓이, 13번에서는 구간별 함수와 실근 개수로 이어집니다. 함수 단원의 14·22번은 함수의 개수를 다루므로 함수 개념과 경우의 수를 함께 준비해야 합니다.

순열조합은 객관식의 5·6·11·12번에 배치되어 있습니다. 독립적인 선택에는 곱의 법칙을 쓰고, 조건이 겹치는 사건에는 포함배제를 적용하는 구분이 중요합니다. 이차방정식의 9번 역시 그래프의 함숫값을 판별식의 부호로 옮기는 문제여서 함수 해석과 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합에서 함수 연결로 무게 이동

작년과 올해는 같은 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 14문항으로 늘고, 서술·단답형도 5문항에서 8문항으로 늘었습니다. 작년에는 어려움이 11번에서 처음 등장했지만 올해는 6번부터 나타나므로 초반 기본형 처리 뒤 곧바로 조건 해석에 들어갈 준비가 필요합니다.

작년 최다 단원인 순열조합은 9문항에서 4문항으로 줄었고, 합성함수와역함수는 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 무리함수도 2문항에서 4문항으로 늘었습니다. 다음 시험 대비에서는 경우의 수를 유지하면서 함수의 대응, 그래프의 대칭, 정의역을 연결하는 연습에 비중을 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 조건 처리의 복합성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 세우기 전 구조를 정하고, 계산 뒤에는 원래 조건으로 돌아와 확인해야 합니다. 복습할 때는 빠뜨린 조건을 풀이 옆에 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 구조를 확인한 뒤 6~9번에서 오래 머무르지 않도록 하세요. 분류 기준이나 그래프가 잡히지 않으면 표시하고 10번을 살펴보세요. 후반의 19·21번도 확인하여 접근 가능한 서술·단답형에 풀이 시간을 남기는 것이 좋습니다.

함수 문항은 계산 전에 정의역, 치역, 증가 방향을 짧게 적으세요. 8·15번은 근호와 절댓값의 구간, 13번은 구간별 식, 20·21번은 역함수의 정의역이 중요합니다. 제곱하거나 방정식으로 바꾼 뒤에는 후보가 원래 그래프 위의 점인지 확인해야 합니다.

경우의 수는 분류 기준과 중복 여부를 검토하세요. 6번의 빈자리, 11번의 합과 곱 조건, 12번의 고정 좌석은 각각 별도로 기록할 조건입니다. 14·22번은 함수이므로 서로 다른 입력의 출력이 같아도 되는지, 17번은 일대일대응이므로 같은 출력이 반복되지 않는지 구별하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 식의 분류와 함수 치환을 복습하세요. 입력 전체를 새 문자로 바꾸고 원래 함수를 복원하는 과정을 정리하세요(1·3·10번 대비).
2. 역함숫값을 대응 관계로 읽는 연습을 하세요. 유한집합에서는 화살표나 대응표로 중복 출력을 검사하세요(4·17번 대비).
3. 그래프의 시작점, 점근선, 대칭과 정의역을 함께 표시하세요. 교점 조건을 식으로 바꾼 뒤 구간 제한을 다시 적용하세요(2·7·8·13·15번 대비).
4. 경우의 수는 홀짝과 나머지 분류부터 배열과 포함배제로 확장하세요. 각 경우가 겹치지 않는 이유를 설명하세요(5·6·11·12번 대비).
5. 함수의 개수는 기준 출력을 먼저 고정하고 남은 선택 수를 세세요. 합성함수의 치역과 원래 함수의 치역을 구별하세요(14·22번 대비).
6. 반복 대입과 이동 규칙을 표로 정리하세요. 순환하는 입력과 반복되는 배율을 찾으면 긴 계산을 줄일 수 있습니다(16·18·19번 대비).
7. 그래프의 교점과 방정식의 근 조건을 연결하세요. 판별식, 근호의 부호, 제한된 정의역을 함께 점검하세요(9·20·21번 대비).