분당고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

분당고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

분당고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 회차는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 절대부등식에서 출제됐습니다. 범위를 공부할 때 함수식의 계산뿐 아니라 대응 관계와 그래프의 의미를 함께 정리해야 하는 구성입니다.

초반에는 순열·조합 기호, 점근선, 그래프에서 읽는 역함숫값을 확인합니다. 이후에는 일대일대응의 조건을 구간별 치역으로 해석하거나, 합성함수의 등식을 그래프의 교점 개수로 바꾸어야 합니다. 같은 함수 단원이라도 풀이에 필요한 표현 방식이 달라집니다.

객관식이 대부분이지만 함수의 개수와 실근의 개수를 판단하는 문항에서는 풀이 중간의 분류가 중요합니다. 마지막 21번은 좌표로 주어진 도형의 성립 조건을 경우의 수와 연결합니다. 식을 얻은 뒤 조건에 맞지 않는 경우를 제외하는 과정까지 연습하세요.

난이도 분포 — 8번부터 이어지는 조건 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움인 1~3번에서는 기호 계산과 그래프 읽기를 정확하게 마쳐야 합니다. 보통인 4~7번은 도형의 경계 선택, 항등함수의 정의, 정수 조건, 그래프의 이동을 활용하므로 풀이의 출발점을 빠르게 정하는 연습이 필요합니다.

8~13번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 역함수의 교점, 함수의 개수, 반복되는 함수 관계, 분배, 합성함수, 일대일대응이 이어져 서로 다른 사고 방식으로 전환해야 합니다. 한 문제의 긴 계산에 머무르기보다 접근 방법을 적어 두고 다음 문항을 확인하세요.

14번은 자동 분류 기준 보통으로, 넓이를 양수인 식으로 바꾸어 부등식을 적용하는 문항입니다. 그 뒤 15~21번은 다시 어려움이 이어집니다. 문항 번호가 뒤라는 이유로 모두 미루기보다, 자신에게 익숙한 함수 개수나 도형 유형부터 찾아 풀어야 합니다.

출제 단원 — 함수와 합성·역함수에 집중

함수와 합성함수와역함수는 각각 6문항입니다. 함수에서는 항등함수, 함수의 개수, 일대일대응을 구별해야 하고, 합성·역함수에서는 입력의 순서와 그래프의 대칭성을 함께 활용합니다. 공식을 외우는 데서 멈추지 말고 조건을 그림이나 대응표로 바꾸어 보세요.

순열조합은 5문항으로, 기호 계산부터 도형 포함 조건, 묶음 구매, 분할·분배, 좌표 도형까지 소재가 넓습니다. 전체 경우를 먼저 세어 제외할지, 기준을 고정하고 경우를 나눌지 선택하는 연습이 필요합니다. 21번은 도형의 존재 조건을 정리해야 곱의 법칙을 적용할 수 있습니다.

유리함수는 2번의 점근선 읽기와 20번의 직선·넓이 해석으로 나뉩니다. 무리함수로 분류된 7번은 그래프의 이동을, 절대부등식으로 분류된 14번은 산술평균과 기하평균의 관계를 활용합니다. 단원 이름만으로 필요한 풀이 도구를 제한하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술 문항은 줄고 함수 비중은 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 9문항에서 올해 13문항으로 늘었고, 쉬움과 보통은 줄었습니다. 서술·단답형은 작년 3문항에서 올해 1문항으로 줄었지만, 객관식의 조건 해석까지 가벼워졌다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 순열조합이 7문항으로 가장 많았고, 올해는 5문항입니다. 함수는 작년 1문항에서 올해 6문항으로, 합성함수와역함수는 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 유리함수와 무리함수는 작년 각각 4문항에서 올해 각각 2문항과 1문항으로 줄어, 함수의 대응과 합성 조건을 준비할 필요가 커졌습니다.

작년 어려움 문항은 10·11·13·14·15·16·17·19·20번이고, 올해는 8번부터 시작해 중후반에 이어집니다. 작년에는 서술·단답형 18번이 보통이었지만 올해의 21번은 어려움입니다. 다음 시험 대비에서는 형식만 보고 시간을 배정하지 말고, 조건을 정리하는 데 걸리는 시간을 함께 점검하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설과 수식의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 식을 단순화한 뒤 원래 문제의 조건으로 돌아가야 하며, 교점의 중복·치환 변수의 범위·도형의 성립 여부가 마지막 검토 기준입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 접근 가능한 문항을 확보하고, 8번 이후에는 풀이 방향을 잡을 수 있는지 먼저 판단하세요. 교점이나 경우의 수를 정리할 기준이 보이지 않으면 표시하고 넘어가세요. 14번처럼 중간에 배치된 보통 문항을 놓치지 않는 것도 시간 운영에 도움이 됩니다.

21번은 읽고 도형 조건을 세우는 시간이 필요하므로 마지막에 처음 보지 않도록 하세요. 시험지를 훑을 때 요구 사항과 필요한 도형 관계를 먼저 확인해 두고, 다시 돌아왔을 때 경우 분류와 계산을 이어 가는 연습을 권합니다. 실제 시험 시간에 맞춘 연습에서는 풀이뿐 아니라 조건 검토에 쓸 시간도 남기세요.

검토할 때는 5번의 공집합 제외, 6번의 묶음 수가 음이 아닌 정수라는 조건, 8번의 제곱 전 부호를 확인하세요. 12·15번은 서로 다른 입력의 중복 여부, 13·19번은 치역의 빈틈과 겹침, 16번은 역함수가 존재하지 않는다는 조건의 방향, 21번은 일직선에 놓이는 경우의 제외를 점검해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의를 대응표로 정리하세요. 항등함수와 일대일대응을 구별하고 정의역·공역·치역을 각각 표시하세요(3·5·17번 대비).
2. 그래프의 기본 정보를 복습하세요. 점근선, 구간별 정의역, 대칭·평행이동을 표시한 뒤 넓이 또는 최솟값으로 연결하세요(2·7·14·20번 대비).
3. 경우의 수는 기준을 먼저 적으세요. 경계 선택, 정수의 홀짝, 묶음과 분배를 이용해 서로 겹치지 않는 경우를 만드세요(1·4·6·11번 대비).
4. 함수의 개수는 조건별로 나누어 세세요. 치역의 원소 개수와 일대일대응 조건을 분리하고, 전체에서 제외하는 방법도 비교하세요(9·16·17번 대비).
5. 합성함수는 중간 함숫값을 치환하고 역으로 입력을 찾으세요. 실근의 중복과 그래프의 경계 높이를 따로 점검하세요(10·12·15번 대비).
6. 일대일대응과 역함수는 구간별 치역을 그려 연습하세요. 교점 조건과 치환 변수의 범위를 확인하고, 빈틈이나 겹침이 없는지 검사하세요(8·13·18·19번 대비).
7. 좌표 도형의 성립 조건을 문장으로 설명한 뒤 경우를 세세요. 변의 길이 조건과 일직선이 되는 예외를 구별하고 넓이 조건까지 연결하세요(21번 대비).