수내고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

수내고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

수내고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 연산에서 출발해 방정식의 근과 함수의 최대·최소까지 연결되는 구성입니다.

초반에는 음의 제곱근, 허수단위의 거듭제곱, 곱셈공식, 나머지정리처럼 적용할 개념이 비교적 분명합니다. 중반에는 주어진 관계를 그대로 계산하기보다 필요한 함수값이나 계수 관계만 추출하는 방식이 유리합니다. 긴 전개를 시작하기 전에 무엇을 알아야 하는지 먼저 적어 보세요.

후반의 이차함수는 최솟값, 계수 조건, 교점과 길이, 구간의 이동을 함께 다룹니다. 서술·단답형은 자동 분류 기준 보통이므로 객관식의 어려움 문항을 모두 해결한 뒤에만 접근할 필요는 없습니다. 풀이 순서와 근거를 정리하는 연습까지 함께 해야 합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 이차함수의 집중

1~8번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 복소수의 기본 연산과 상등, 전개식의 계수, 나머지정리, 변환된 방정식의 근, 접선 조건을 확인합니다. 이 구간에서는 새로운 풀이를 찾기보다 부호와 대입값을 정확하게 처리하는 것이 중요합니다.

9~14번은 보통 문항이 이어집니다. 켤레복소수의 성질, 근이 만족하는 식을 이용한 차수 낮추기, 공통부분 치환, 항등식의 대입과 인수 조건이 중심입니다. 풀이가 길어지는 경우에는 모든 미지수를 구하려는지, 목표에 필요한 관계만으로 정리할 수 있는지 점검하세요.

15~17번은 어려움이 연속되지만 18~20번은 다시 보통입니다. 따라서 후반에서 막혔더라도 남은 문제의 접근 가능성을 따로 판단해야 합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 복소수와 이차함수, 서로 다른 준비 방식

복소수는 초반의 기본형에서 9번의 켤레 관계, 19번의 실수 조건과 자연수 범위 검토로 확장됩니다. 실수부와 허수부를 구분하는 원칙을 익힌 뒤, 켤레를 취하면 식이 어떻게 바뀌는지 설명하는 연습을 하세요. 서술형에서는 가능한 경우를 빠짐없이 찾았다는 근거도 필요합니다.

이차함수는 문항 수뿐 아니라 어려움 문항의 집중도에서 중요합니다. 8번은 접한다는 조건을 중근으로 옮기고, 15~17번은 함수의 형태 결정과 위치 관계를 다룹니다. 20번의 완전제곱꼴과 끝점 비교를 먼저 확실히 한 뒤 복합 조건으로 확장하면 학습 순서를 잡기 좋습니다.

다항식과 항등식은 전개 능력에 구조를 보는 능력이 더해집니다. 11번은 공통부분을 만들도록 인수를 묶고, 12·13번은 나누어떨어짐을 인수 형태로 나타내며, 14번은 필요한 함수값만 연결합니다. 이차방정식의 7·10번도 근을 직접 구하기보다 식의 변환과 근과 계수의 관계가 핵심입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 이차함수에 모인 구성

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 5문항에서 올해 3문항으로 줄고 쉬움은 6문항에서 8문항으로 늘었습니다. 다만 서술·단답형은 1문항에서 2문항으로 늘었으므로 어려움 문항 수의 감소만으로 풀이 과정 작성의 부담까지 줄었다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 다항식이 6문항으로 가장 많았고 올해는 복소수와 이차함수가 각각 5문항으로 가장 많습니다. 복소수는 작년 2문항에서 올해 5문항으로 늘었고, 이차함수는 양쪽 모두 5문항입니다. 같은 이차함수 비중이라도 올해는 어려움 문항이 모두 이 단원에 있어 기본형과 복합형을 구별해 준비할 필요가 있습니다.

작년의 어려움 문항은 16·17·18·19·20번에 있었으며 여러 단원에 걸쳤습니다. 올해는 15·16·17번으로 모이고 그 뒤 문항은 보통으로 분류됩니다. 다음 시험 대비에서는 작년의 번호 배치를 그대로 예상하기보다 복소수의 기본기를 넓게 확인하고 이차함수의 조건 해석을 깊게 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 세우기 전에 경우를 나누는 기준이 필요하다는 것입니다. 꼭짓점 형태, 점의 좌우 배치, 축과 구간 중심을 먼저 표시하면 계산의 목적이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본형을 정확하게 처리하고 9~14번에서 필요한 관계를 빠르게 찾는 데 집중하세요. 중간에 전개가 길어지면 목표가 계수인지 함수값인지 다시 확인하세요. 15~17번에 시간이 묶이면 표시하고 18~20번을 살펴보며 풀 수 있는 문항부터 확보하는 연습이 좋습니다.

서술·단답형에 쓸 시간을 별도로 남겨 두세요. 19번은 실수 조건을 식으로 바꾼 근거와 자연수 범위에서 경우를 제한한 이유를 적어야 합니다. 20번은 실수 전체에서의 최솟값과 제한된 구간에서의 최댓값을 구분하고, 매개변수의 양수 조건 및 끝점 선택의 이유를 순서대로 설명하세요.

마지막 검토는 반복 계산보다 조건 확인에 집중하세요. 9번은 나눗셈이 가능한지와 켤레의 위치, 11번은 제곱되는 이차식의 최고차항 부호, 15번은 각 후보가 추가 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 16번의 길이는 좌우 방향을 정해 주지 않으며 17·20번의 최댓값은 축에서 먼 끝점에서 나온다는 점도 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 음의 제곱근과 허수단위의 주기, 복소수의 상등을 먼저 복습하세요. 실수부와 허수부를 구분하고 켤레를 취한 식을 직접 적어 보세요(1·2·4·9번 대비).
2. 곱셈공식과 다항식 연산은 목표 항의 계수를 먼저 정해 연습하세요. 공통부분이 생기도록 인수를 묶는 연습도 이어 가세요(3·6·11번 대비).
3. 나머지정리와 인수정리의 조건을 대입식과 인수 형태로 각각 써 보세요. 전체 다항식을 구하지 않고 필요한 함수값만 찾는 방법을 익히세요(5·12·13·14번 대비).
4. 변환된 방정식의 근과 원래 함수의 근을 구별하세요. 근이 만족하는 식으로 높은 차수를 낮춘 뒤 근과 계수의 관계를 적용하세요(7·10번 대비).
5. 완전제곱꼴, 접선의 중근 조건, 제한된 구간의 끝점 비교를 차례로 익히세요. 이후 계수 조건과 이동 구간이 결합된 문제로 확장하세요(8·20·15·17번 대비).
6. 거리 조건에서는 점의 좌우 배치를, 자연수 조건에서는 가능한 인수의 범위를 표시하세요. 각 경우가 빠짐없이 검토되었는지 풀이를 말로 설명해 보세요(16·18·19번 대비).