늘푸른고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

늘푸른고 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 회차는 다항식과 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수, 여러가지방정식을 다룹니다. 출제 단원 분류를 기준으로 보면 연산에서 시작해 근의 성질과 그래프 해석까지 이어지는 범위입니다.

시험의 기본 축은 익숙한 공식을 상황에 맞게 바꾸어 쓰는 능력입니다. 다항식 전개에서 필요한 계수만 고르거나, 근을 직접 구하지 않고 합과 곱으로 새 방정식을 구성하는 풀이가 유용합니다. 도형의 길이와 넓이도 다항식의 대칭적인 관계로 옮겨 해석합니다.

후반에는 개념 하나를 적용하는 것만으로 끝나지 않습니다. 복소수의 거듭제곱에서는 주기와 자연수 조건을 함께 확인하고, 사차방정식에서는 각 인수의 근을 합칠 때 생기는 중복을 따집니다. 풀이의 출발점과 마지막 조건 검증을 모두 연습해야 합니다.

난이도 분포 — 보통 문항을 확보하고 후반에 대비

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움에 속한 1·2번은 전개식의 계수와 복소수 연산을 확인하고, 18번은 인수분해와 공통부분 치환을 활용합니다. 서술·단답형이라고 모두 어려운 것은 아니므로 문항 형식만 보고 풀이 순서를 뒤로 미루지 마세요.

보통 문항에서는 근과 계수의 관계, 곱셈공식의 변형, 판별식, 그래프의 접점 등을 연결합니다. 9번처럼 최솟값을 다시 함수로 해석하는 문항이나 19번처럼 절댓값 그래프의 교점을 세는 문항은 계산보다 대상과 구간을 구별하는 일이 중요합니다.

10번에서 어려움 문항이 먼저 등장하고, 14~17번에서 연속됩니다. 이 구간에서는 풀이 방향을 찾는 시간이 길어질 수 있습니다. 11~13번과 18·19번까지 살펴보고 해결 가능한 문항을 확보한 뒤 돌아오는 방식으로 연습해 보세요.

출제 단원 — 네 단원이 같은 비중으로 배치

다항식·여러가지방정식·이차방정식·이차함수의 출제 비중이 같습니다. 다항식에서는 계수 계산, 대칭식 변형, 도형 응용, 공통부분 치환으로 표현 방식이 달라집니다. 같은 공식이라도 어느 부분을 묶어야 하는지 판단하는 연습이 필요합니다.

여러가지방정식은 켤레근을 이용하는 3번과 대칭적인 연립방정식의 12번에서 출발해, 허근의 성질을 다루는 15번과 실근의 중복을 확인하는 20번으로 이어집니다. 식을 푸는 연습과 함께 근이 실제로 존재하는지, 같은 근을 다시 세지는 않았는지 확인하세요.

복소수와 항등식은 문항 수가 상대적으로 적어도 후반의 16번과 14번이 각각 자동 분류 기준 어려움입니다. 단원별 문항 수만으로 학습 시간을 정하면 이 구간을 놓칠 수 있습니다. 기본 연산 이후 주기, 실수 조건, 제곱의 합이 갖는 의미까지 확장해 준비하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 조건 해석의 부담을 고려해 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 정보의 구조와 경우 구분의 기준을 정해야 합니다. 풀이를 복습할 때에는 계산 줄보다 그 기준을 자신의 문장으로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1·2번의 연산을 정확히 마무리하고, 이어지는 보통 문항에서 식을 짧게 정리하는 데 집중하세요. 10번에서 풀이가 멈추면 표시하고 다음 문항으로 이동하는 연습이 필요합니다. 후반까지 한 번 살펴보며 바로 해결할 수 있는 문항을 확보하세요.

14~17번을 연속으로 붙잡기 전에 18·19번의 접근 방향도 확인하세요. 서술·단답형에는 치환의 이유, 그래프의 경계, 경우를 나눈 근거를 적을 시간이 필요합니다. 실제 제한 시간에 맞춰 풀면서 후반에 남은 시간을 기록하고, 풀이 방향이 보이지 않는 문항을 재방문하는 순서를 조정하세요.

검산할 때에는 4번의 역수 정의, 7번의 자연수 범위, 10번의 허근과 양수 조건, 16번의 자연수 판정을 확인하세요. 19번은 그래프의 경계 높이, 20번은 서로 다른 근이라는 표현을 다시 읽어야 합니다. 계산 결과가 나온 뒤 원래 조건에 맞는지 확인하는 습관이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱셈공식과 공통부분 치환부터 정리하세요. 필요한 항만 골라 계산하고 완전제곱 구조를 찾는 연습을 합니다(1·5·18번 대비).
2. 근과 계수의 관계를 대칭식에 적용하세요. 근을 직접 구하는 풀이와 합·곱으로 처리하는 풀이를 비교해 보세요(3·4·12번 대비).
3. 판별식과 그래프의 교점을 연결하세요. 중근, 접점, 절댓값 그래프의 경계 조건을 말로 설명하는 연습을 합니다(7·13·19번 대비).
4. 이차함수의 최대·최소를 단계별로 정리하세요. 원래 변수와 매개변수를 구별한 뒤 움직이는 구간의 끝점을 비교합니다(6·9·17번 대비).
5. 복소수의 켤레와 거듭제곱 주기를 복습하세요. 주기에 따른 분류표를 만들고 실수·자연수 조건을 각각 검토합니다(2·10·15·16번 대비).
6. 항등식의 대입과 인수 구조를 연습하세요. 전개 전에 어떤 값을 대입하면 정보가 줄어드는지 판단합니다(11·14번 대비).
7. 실근 개수의 서술 과정을 완성하세요. 중근과 공통근을 나누고 각 후보에서 근의 중복을 직접 확인합니다(20번 대비).